含惯容和杠杆元件的减振系统参数优化及性能分析

周子博，申永军，邢海军，温少芳，杨绍普; ZHOU Zi-bo; SHEN Yong-jun; XING Hai-jun; WEN Shao?fang; YANG Shao?pu

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含惯容和杠杆元件的减振系统参数优化及性能分析 PDF

[] 周子博 ²
[] 申永军 ^1,2
[] 邢海军 ^1,2
[] 温少芳 ¹
[] 杨绍普 ^1,2

1. 石家庄铁道大学省部共建交通工程结构力学行为与系统安全国家重点实验室, 河北石家庄 050043； 2. 石家庄铁道大学机械工程学院, 河北石家庄 050043

中图分类号： TB535； O328

发布日期：2022-05-06

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2022.02.016

摘要

为了提高减振性能，设计了两种基于惯容⁃弹簧⁃阻尼器结构的含放大机构的减振系统，探讨了模型在受到外部激励时的减振效果。根据牛顿第二定律建立了系统的动力学方程，并得到了其解析解，发现幅频曲线都存在独立于阻尼比的两个固定点。基于H_∞和H₂优化准则，分别得到了系统的最优参数，并研究了惯容质量比和放大比对模型减振性能的影响。发现在一定范围内，惯容质量比与放大比增大，幅频曲线峰值降低，两共振峰间距拉大，并通过数值仿真验证了解析解的正确性。与其他减振模型在简谐激励和随机激励情况下比较，所设计模型大幅降低了共振振幅，并且拓宽了有效频带，表明其具有更好的减振性能。

关键词

振动控制; 惯容; 杠杆元件; 力放大机构; 参数优化

引　言

在被动减振领域中，自1909年Frahm^［

1］发明无阻尼动力吸振器（Dynamic Vibration Absorber，DVA）距今已有100多年，经过不断优化改进，相继出现半主动控制系统、主动控制系统。由于被动减振系统结构简单且可靠性高，应用范围广，目前依旧是研究热点。Ormondroyd等^{［参考文献 2
查找原文}2］考虑到Frahm模型频带的局限性，加入阻尼，有效降低主系统的振幅并拓宽可用频率范围。进入21世纪，Ren等^{［参考文献 3
查找原文}3］提出接地阻尼DVA，该减振系统比经典DVA效果更佳。Almazan等^{［参考文献 4
查找原文}4］提出了一种由摩擦阻尼代替黏性阻尼的简单双向减振BH⁃TMD（Bidirectional and Homogeneous Tuned Mass Damper）机构，并控制25层混凝土建筑在地震载荷下的振动。赵艳影等^{［参考文献 5
查找原文}5］分析了时滞对动力吸振器的影响，并提出利用时滞可以提高减振效果的思想。Shen等^［］给出了4种半主动动力吸振器的近似解析解，并分析最优参数下时滞对半主动控制的影响。文献［8］推导了加入接地负刚度弹簧的Voigt式DVA的最优设计参数，并通过对比得出优异的减振性能。

随着对振动控制系统的深入研究，学者们发现含有惯容的减振系统具有固有频率低、承载大、减振效果优越的特点，同时可降低附加质量，实现减振系统轻量化设计。Smith教授^［

9］提出惯容概念后，将其用于改善车辆悬架的性能，对几种ISD （I⁃Inerter， S⁃Spring， D⁃Damper）悬架进行了分析优化。惯容器在实际工程中已经有了具体应用，迈凯伦车队最早将惯容器运用到F1赛车的悬架上^{［参考文献 10
查找原文}10］。Wang等^［］将惯容应用到列车悬挂系统中，改善了列车系统的稳定性和动态性能。Chen等^［］将惯容应用到汽车悬架，利用半主动控制策略调节惯容与阻尼系数，实现了悬架力的动态控制；他们还将惯容用于动力吸振器中，并给出最佳设计方案^［］。从质量成本看，惯容的作用在于优化系统质量从而实现减振效果^{［参考文献 17
查找原文}17］，在不同结构类型^［］中均有应用。Garrido等^{［参考文献 23
查找原文}23］提出用TVMD（Tuned Viscous Mass Damper）代替调谐质量阻尼器中的阻尼元件，研究发现该系统减振效果更好，同时具有更宽的减振频带。Barredo等^{［参考文献 24
查找原文}24］利用扩展固定点方法计算了含惯容的DVA的解析解。聂佳梅等^{［参考文献 25
查找原文}25］对惯容模型结构及其实现方法进行了探讨。王孝然等^{［参考文献 26
查找原文}26］提出的含有惯容和负刚度的DVA减振性能优越，拓宽了有效频带。张瑞甫等^{［参考文献 27
查找原文}27］整理了惯容在振动控制领域的发展历程与研究现状。李壮壮等^［］提出的基于ISD结构的被动减振结构，比传统DVA减振效果更佳。文献［30］研究了具有惯容的离心摆轴系减振器力学特性，将该模型应用于螺旋桨轴系，证明比动力吸振器更能提高系统稳定性。惯容在隔振领域也有较好的表现，可以降低主系统固有频率，改善隔振性能^［］。文献［34］利用加速度⁃相对速度半主动控制策略，实现惯容隔振器惯质比的动态切换，扩大了频率适用范围。

力放大机构也已经用于减振和隔振领域。以杠杆元件为例，李春翔等^［

35］研究的杠杆式TMD比传统DVA有更大的最优调谐频率比。汪正兴等^{［参考文献 36
查找原文}36］利用杠杆放大作用设计了斜拉索杠杆质量阻尼器并在实桥中实验，通过有效附加阻尼抑制斜拉索的振动。Zang等^{［参考文献 37
查找原文}37］提出的非线性DVA，引入杠杆后比传统吸振器有更好的减振性能，并研究了支点位置对系统稳定性的影响。文献［38］提出基于杠杆放大原理的铅黏弹性阻尼器具有耗能效果明显的优势。文献［39］将杠杆放大机构与负刚度弹簧加入DVA中，通过固定点理论和H_∞优化得到最优方案，具有很好的减振效果。

然而上述减振或者隔振的研究更多侧重于数值方法和仿真，解析解的计算较少，并且将二者结合的研究也少有。本文在单自由度减振系统中附加惯容和力放大机构得到了新型减振系统，通过拉氏变换得到系统解析解，利用H_∞和H₂优化准则对减振模型的刚度和阻尼进行优化设计。通过在简谐激励和随机激励下与其他减振系统的比较，证明了本文模型良好的减振性能。

1 惯容力学特性

惯容器是剑桥大学Smith教授通过研究机械网络和电路网络之间相似性提出的，简称惯容，又称为惯性储能器或惯性质量储能器，具有两个独立的、自由的端点，产生的力与其节点之间的相对加速度成比例。图1为一种滚珠丝杠惯容器（滚珠由飞轮替代）的二维结构示意图。此装置采用机械传动的方式将丝杠的直线运动转化为飞轮的旋转运动，将两端点的作用力转化为惯性力存储起来。

图1 滚珠丝杠惯容器原理图

Fig.1 Schematic diagram of ball-screw inerter

理想惯容器的受力关系^［

9］为：

F = b (\frac{d v_{2}}{d t} - \frac{d v_{1}}{d t}) = b (\frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}} - \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}})

（1）

式中　 $F$ 为施加于惯容两端点等大反向的力； $b$ 为惯容系数，单位为 $k g$ ； $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 分别为两个端点的速度； $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 分别为两个端点的位移。通过设计结构形式，一般可将飞轮的转动惯量放大几十倍，这是惯容的优良特性^［

32］。

2 模型建立及参数优化

为了叙述方便，将本文中用到的所有参数列入表1。

图2为本文所提出的两个模型，为了方便起见，分别命名为LISD1和LISD2。模型中分别引入了惯容以及杠杆机构，多元件组合存在多种形式，本文模型是在Den Hartog模型与Ren模型的基础上附加杠杆元件，并加入接地惯容。杠杆元件的两端分别加装滑块，滑块又分别铰接其他元件。在研究主系统的减振效果时，为了简化模型，忽略滑块质量、杠杆质量及运动过程中的摩擦损失，将基础的刚度看作无限大，以主系统垂向振幅和受到的振动能量减小作为减振目标。

图2 模型LISD

Fig.2 Models of LISDs

根据牛顿第二定律，建立以下动力学方程：

LISD1

\{\begin{array}{l} m_{1} {\ddot{x}}_{1} + k_{1} x_{1} + k_{2} (x_{1} - x_{2} / L) + \\ c_{1} ({\dot{x}}_{1} - {\dot{x}}_{2} / L) = F_{0} s i n ω t \\ (x_{2} / L - x_{1}) k_{2} / L + \\ ({\dot{x}}_{2} / L - {\dot{x}}_{1}) c_{1} / L + b {\ddot{x}}_{2} = 0 \end{array}

（2a）

LISD2

\{\begin{array}{l} m_{1} {\ddot{x}}_{1} + k_{1} x_{1} + (L x_{1} - x_{2}) L k_{2} = F_{0} s i n ω t \\ (x_{2} - L x_{1}) k_{2} + c_{1} {\dot{x}}_{2} + b {\ddot{x}}_{2} = 0 \end{array}

（2b）

2.1 解析解

根据表1，和（2b）可以化为：

LISD1

\{\begin{array}{l} {\ddot{x}}_{1} + ω_{1}^{2} x_{1} + α ω_{1}^{2} (x_{1} - x_{2} / L) + \\ 2 ζ ω_{1} ({\dot{x}}_{1} - {\dot{x}}_{2} / L) = f_{0} s i n ω t \\ (x_{2} / L - x_{1}) α ω_{1}^{2} / L + \\ ({\dot{x}}_{2} / L - {\dot{x}}_{1}) 2 ζ ω_{1} / L + δ {\ddot{x}}_{2} = 0 \end{array}

（3a）

LISD2

\{\begin{array}{l} {\ddot{x}}_{1} + ω_{1}^{2} x_{1} + (L x_{1} - x_{2}) L α ω_{1}^{2} = f_{0} s i n ω t \\ (x_{2} - L x_{1}) α ω_{1}^{2} + 2 ζ ω_{1} {\dot{x}}_{2} + δ {\ddot{x}}_{2} = 0 \end{array}

（3b）

将响应和正弦激励写为如下形式：

\{\begin{array}{l} x_{1} = X_{1} e^{j ω t} \\ x_{2} = X_{2} e^{j ω t} \\ F_{0} s i n ω t = F_{0} e^{j ω t} \end{array}

（4）

并代入中，得出无量纲运动规律：

X_{1 i} = \frac{f_{0} (A_{1 i} + j B_{1 i})}{C_{1 i} + j D_{1 i}}

（5）

式中　j为虚数单位， $i = 1,2$ ，分别代表LISD1和LISD2。其中：

\{\begin{array}{l} A_{11} = ω_{1}^{2} α - L^{2} ω^{2} δ \\ B_{11} = 2 ω_{1} ω ζ \\ C_{11} = ω_{1}^{4} α + L^{2} ω^{4} δ - \\ ω^{2} ω_{1}^{2} [α + L^{2} (1 + α) δ] \\ D_{11} = 2 ω ω_{1} ζ [ω_{1}^{2} - ω^{2} (1 + L^{2} δ)] \end{array}

（6a）

\{\begin{array}{l} A_{12} = ω_{1}^{2} α - ω^{2} δ \\ B_{12} = 2 ω_{1} ω ζ \\ C_{12} = ω_{1}^{4} α + ω^{4} δ - ω^{2} ω_{1}^{2} (α + δ + L^{2} α δ) \\ D_{12} = 2 ω ω_{1} ζ [ω_{1}^{2} (1 + L^{2} α) - ω^{2}] \end{array}

（6b）

引入参数：

X_{s t} = \frac{F_{0}}{k_{1}}

（7）

得到评定LISD系统减振性能的振幅放大因子：

Z_{i} = |\frac{X_{1 i}}{X_{s t}}| = \sqrt[]{\frac{A_{2 i}^{2} + B_{2 i}^{2} ζ^{2}}{C_{2 i}^{2} + D_{2 i}^{2} ζ^{2}}}

（8）

其中：

\{\begin{array}{l} A_{21} = α - L^{2} δ λ^{2} \\ B_{21} = 2 λ \\ C_{21} = α - λ^{2} [α + L^{2} (1 + α) δ] + L^{2} δ λ^{4} \\ D_{21} = 2 λ [- 1 + (1 + L^{2} δ) λ^{2}] \end{array}

（9a）

\{\begin{array}{l} A_{22} = α - δ λ^{2} \\ B_{22} = 2 λ \\ C_{22} = α - (α + δ + L^{2} α δ) λ^{2} + δ λ^{4} \\ D_{22} = 2 λ (1 + L^{2} α - λ^{2}) \end{array}

（9b）

2.2 最优参数

2.2.1 H_∞优化

固定点理论是DVA参数优化的经典手段，通过H_∞优化可以得到最优刚度比和最优阻尼比等参数。H_∞优化指主系统受到外界简谐激励时，在安装减振器后，使得主系统最大振幅最小。图3（a）和（b）首先给出了LISD的主系统幅频曲线。

图3 LISD幅频曲线

Fig.3 The amplitude-frequency curves of LISDs

根据图3所示，两个模型均有独立于阻尼比的固定点 $P$ 和 $Q$ 。根据此特性，可以让阻尼比趋于零和趋于无穷时的响应值相等，即 $A / C = B / D$ 。以LISD1为例，则有：

Z_{1} = \sqrt[]{\frac{B_{21}^{2}}{D_{21}^{2}}} = \sqrt[]{\frac{A_{21}^{2}}{C_{21}^{2}}}

（10）

将代入，化简得到：

\begin{array}{l} (2 + L^{2} δ) δ L^{2} λ^{4} + [- 2 L^{2} δ - \\ 2 α (1 + L^{2} δ)] λ^{2} + 2 α = 0 \end{array}

（11）

假设两固定点的横坐标为 $λ_{P}$ 和 $λ_{Q}$ ，则存在等式：

(λ^{2} - λ_{P}^{2}) (λ^{2} - λ_{Q}^{2}) = λ^{4} - (λ_{P}^{2} + λ_{Q}^{2}) λ^{2} + λ_{P}^{2} λ_{Q}^{2}

（12）

可以得到：

λ_{P}^{2} + λ_{Q}^{2} = \frac{2 L^{2} δ + 2 α (1 + L^{2} δ)}{L^{2} δ (2 + L^{2} δ)}

（13）

根据固定点理论可知，在最优频率比条件下 $λ_{P}$ 和 $λ_{Q}$ 两点处响应值相等，即：

\begin{array}{l} Z_{1} = \sqrt[]{\frac{B_{21}^{2}}{D_{21}^{2}}} = \frac{1}{- 1 + (1 + L^{2} δ) λ_{P}^{2}} = \\ - \frac{1}{- 1 + (1 + L^{2} δ) λ_{Q}^{2}} \end{array}

（14）

从而得到：

λ_{P}^{2} + λ_{Q}^{2} = \frac{2}{1 + L^{2} δ}

（15）

联立和（15）可以建立关于 $α$ 的方程，得到最优刚度比为：

α_{o p t 1} = \frac{L^{2} δ}{(1 + L^{2} {δ)}^{2}}

（16）

将最优刚度比代入并求解，求出 $P$ ， $Q$ 两点横坐标：

λ_{P}^{2} = \frac{2 + L^{2} δ (3 + L^{2} δ) - \sqrt[]{δ (2 + L^{2} δ) (L + L^{3} {δ)}^{2}}}{(1 + L^{2} {δ)}^{2} (2 + L^{2} δ)}

（17a）

λ_{Q}^{2} = \frac{2 + L^{2} δ (3 + L^{2} δ) + \sqrt[]{δ (2 + L^{2} δ) (L + L^{3} {δ)}^{2}}}{(1 + L^{2} {δ)}^{2} (2 + L^{2} δ)}

（17b）

在最优刚度比条件下，将横坐标代入中，固定点处响应值即纵坐标为：

Z_{1} |_{(λ_{P}, λ_{Q})} = \sqrt[]{1 + \frac{2}{L^{2} δ}}

（18）

由可以看出，以LISD1为例，杠杆放大比和惯质比对固定点处的响应有直接影响。在工程允许情况下，增加 $δ$ 和 $L$ ，可以降低固定点处的响应。

至此已经得到了最优刚度比，同时固定点 $P$ 和 $Q$ 被调整到相等的高度。为了达到最优减振效果，可以使固定点成为幅频曲线的最高点。根据极值条件可知，幅频曲线在 $P$ 和 $Q$ 两点处的导数为零，即：

\frac{\partial {Z_{1}}^{2}}{\partial λ^{2}} |_{λ_{P}, λ_{Q}} = 0

（19）

在最优刚度比条件下，可以得到：

\begin{array}{l} ζ_{P}^{2} = L^{6} δ^{3} [6 + 3 L^{2} δ (3 + L^{2} δ) - \\ \sqrt[]{δ (2 + L^{2} δ) (L + L^{3} {δ)}^{2}}] / \\ [8 (1 + L^{2} {δ)}^{4} (2 + L^{2} δ)] \end{array}

（20a）

\begin{array}{l} ζ_{Q}^{2} = L^{6} δ^{3} [6 + 3 L^{2} δ (3 + L^{2} δ) + \\ \sqrt[]{δ (2 + L^{2} δ) (L + L^{3} {δ)}^{2}}] / \\ [8 (1 + L^{2} {δ)}^{4} (2 + L^{2} δ)] \end{array}

（20b）

上式说明，选择其中一个 $ζ$ 值只能使幅频曲线在 $P$ 和 $Q$ 中一点达到极值。因此，为了得到较好的优化效果，将两阻尼比平均值作为最优阻尼比，即：

ζ_{o p t 1} = \sqrt[]{\frac{ζ_{P}^{2} + ζ_{Q}^{2}}{2}} = \sqrt[]{\frac{3 L^{6} δ^{3}}{8 (1 + L^{2} {δ)}^{3}}}

（21）

此时，在H_∞优化下LISD1的所有最优参数已经得出。LISD2的参数推导过程与LISD1类似，参数如表2所示。

2.2.2 H₂优化

在随机激励下，采用H₂范数评估主系统减振效果较为合适，另一方面H₂范数也代表了主系统响应的均方根值（Root Mean Square， RMS）。假设主系统以理想白噪声为随机激励，这里给出H₂优化的性能指标：

I = \frac{k_{1}^{2} E [x_{1}^{2}]}{2 π S_{f} ω_{1}} = \frac{k_{1}^{2} <x_{1}^{2}>}{2 π S_{f} ω_{1}}

（22）

式中 $E []$ 代表统计平均值， $<>$ 代表瞬时平均值， $S_{f}$ 代表功率谱密度。主系统位移的RMS可以定义为：

<x_{1}^{2}> = \frac{ω_{1}}{k_{1}^{2}} S_{f} \int_{- \infty}^{\infty} {|Z|}^{2} d λ

（23）

将代入，性能指标 $I$ 可以写成：

I_{i} = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} {|Z_{i}|}^{2} d λ = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{A_{2 i}^{2} + B_{2 i}^{2} ζ^{2}}{C_{2 i}^{2} + D_{2 i}^{2} ζ^{2}} d λ

（24）

以LISD1为例，利用留数定理可以得到：

I_{1} = \frac{Λ_{1} ζ_{1}^{2} + Λ_{2}}{4 L^{4} δ^{2} ζ_{1}}

（25）

其中

\{\begin{array}{l} Λ_{1} = 4 (1 + δ L^{2}) \\ Λ_{2} = (α δ L^{2} + 2 α) α δ L^{2} - α (2 δ L^{2} - α) \end{array}

（26）

令 $I$ 对 $α$ 和 $ζ$ 的偏导数为零，则有：

\{\begin{array}{l} \frac{\partial I}{\partial α} = 0 \\ \frac{\partial I}{\partial ζ} = 0 \end{array}

（27）

由和（27）得到：

\{\begin{array}{l} 2 α (1 + L^{2} {δ)}^{2} - L^{2} δ (2 + L^{2} δ) = 0 \\ L^{4} δ^{2} - α L^{2} δ (2 + L^{2} δ) + \\ (α + α L^{2} {δ)}^{2} - 4 (1 + L^{2} δ) {ζ_{1}}^{2} = 0 \end{array}

（28）

进一步求解可得LISD1的最优刚度比和最优阻尼比。在H₂优化下LISD的最优参数如表3所示。

2.3 参数分析

根据表2可知，在LISD1中 $δ > 0$ ， $L > 1$ ，杠杆放大比小于1会放大幅频曲线幅值，效果与系统减振要求相悖；在LISD2中 $0 < δ < 1 / L^{2}$ ，0<L< $\sqrt[]{1 / δ}$ ，超出参数范围主系统响应会产生不稳定现象。由表3可知，在LISD1中 $δ > 0$ ， $L > 1$ ；在LISD2中， $L^{2} δ \in (0,0.114) ⋃ (3.886, + \infty)$ ，经计算，值域取右半部时，刚度比为负值且主系统响应不稳定，故取值域为左半部。图4和5给出了LISD2在两种优化方式中惯质比与杠杆放大比的关系，阴影部分为取值区域。在振动控制中，产生两个相近的固有频率（幅频曲线的两个共振峰），会导致有效减振频带变窄，对减振系统有害，因此选取合适的参数值很重要。图6和7给出了在H_∞优化下，惯质比与杠杆放大比对主系统垂向振动的影响。图8给出了在H₂优化下，惯质比与杠杆放大比对性能指标 $I$ 的影响。

图4 LISD2在H_∞优化下 $L$ 和 $δ$ 的关系

Fig.4 Relationship between $L$ and $δ$ of LISD2 under H_∞ optimization

图5 LISD2在H₂优化下 $L$ 和 $δ$ 的关系

Fig.5 Relationship between $L$ and $δ$ of LISD2 under H₂ optimization

图6 $δ = 0.2$ 时，不同 $L$ 下LISD主系统幅频曲线

Fig.6 The amplitude-frequency curves of LISDs with different amplification ratios $L$ at $δ = 0.2$

图7 不同 $δ$ 下LISD主系统幅频曲线

Fig.7 The amplitude-frequency curves of LISDs with different inerter-to-mass ratios $δ$

图8 LISD中最优性能指标与 $δ$ 的关系

Fig.8 Relationship between the optimal performance index and $δ$ of LISDs

由图6和7可知，LISD在惯质比取0.2时，放大比越大，幅频曲线的幅值越低，同时两个共振频率间距越大；当控制放大比不变时，惯质比越大，LISD的幅频曲线幅值越低，同时两个共振频率间距越大，减振效果越好。由图8可以看出，当惯质比和杠杆放大比的取值在合理范围内，随着两参数的增大，最优性能指标越小，主系统受到的振动能量越少。

3 数值仿真

为了验证无量纲参数优化的正确性，这里选取 $δ_{1} = 0.5$ ， $δ_{2} = 0.2$ ， $L_{1} = 2.5$ ， $L_{2} = 1.8$ ，和 $δ_{1} = 0.2$ ， $δ_{2} = 0.05$ ， $L_{1} = 2$ ， $L_{2} = 1.5$ 分别代入表2和3得到的最优参数，取 $F_{0} = 800 N$ ，利用四阶龙格⁃库塔法，选取计算时间800 s得到在正弦激励下主系统响应的数值解。忽略瞬态响应，取稳态解的最大值为响应幅值并进行归一化处理，得到幅频响应曲线并与解析解对比。图9显示了数值解与解析解所得结果完全吻合（直线为系统的解析解），验证了本文推导过程和结果的正确性。

图9 LISD在两种优化方式下数值解与解析解对比

Fig.9 Comparison between numerical results and analytical solutions of LISDs under H_∞ optimization or H₂ optimization

4 模型对比

4.1 主系统幅频响应曲线对比

为了验证LISD的减振性能，与其他经典DVA分别在H_∞优化和H₂优化下的结果进行了对比。这里给出其他减振模型（即文献［］中的模型，后文简称Den式和Ren式）的归一化幅频曲线，如图10所示。

图10 两种优化方式下LISD与其他减振模型对比

Fig.10 Comparison between LISDs and other vibration mitigation models under H_∞ optimization or H₂ optimization

从图10中可以看出，LISD大幅降低了共振区的振幅，同时拓宽了减振频带，两峰值的间距拉大，明显在主系统减振方面有更好的效果。

4.2 随机激励下的响应对比

由于在实际工程中系统所受的激励大都为随机激励，所以在随机激励下系统的响应有着很重要的意义。设该系统受到均值为零、功率谱密度 $S (ω) = S_{0}$ 的白噪声激励，则主系统绝对位移响应的功率谱密度函数为：

S_{*} (ω) = {|X_{1 *}|}^{2} S_{0}

（29）

而主系统位移均方值为：

σ_{*}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} S_{*} (ω) d ω = S_{0} \int_{- \infty}^{\infty} {|X_{1 *}|}^{2} d ω = \frac{π S_{0} Y_{*}}{ω_{1}^{3}}

（30）

表4为各减振系统的无量纲参数 $Y_{*}$ 和主系统响应的均方值。结果表明，在惯质比与质量比都为0.05的情况下，LISD在随机激励下仍具有更好的减振效果。

为了得到更直观的图像变化过程，构建了50 s均值为0、方差为1的随机激励，其时间历程如图11所示。选取主系统质量 $m = 1 k g$ ，主系统刚度 $k_{1} = 100 N / m$ ，吸振器质量 $m_{2}$ =0.05 kg和惯容系数 $b$ = 0.05 kg，杠杆放大比分别为 $L_{1} = 3$ 和 $L_{2} = 1.5$ ，LISD的最优参数据由表2和3可得。基于四阶龙格⁃库塔法，可以得到无附加减振器和附加减振器的主系统响应。图12~16给出了主系统的时间历程。由于位移方差与系统振动能量相关，表5总结了主系统位移方差及衰减比。

图11 随机激励时间历程

Fig.11 The time history of the random excitation

图12 不含减振器的主系统时间历程

Fig.12 The time history of the primary system without vibration mitigation models

图13 Voigt式主系统时间历程

Fig.13 The time history of the primary system with Voigt DVA

图14 Ren 式主系统时间历程

Fig.14 The time history of the primary system with Ren DVA

图15 LISD1主系统时间历程

Fig.15 The time history of the primary system with LISD1

图16 LISD2主系统时间历程

Fig.16 The time history of the primary system with LISD2

由图12~16可知，附加Voigt式、Ren式减振器的主系统与无减振器的主系统相比共振幅值大幅降低，幅值在0.015 m附近。而附加LISD减振器的主系统将幅值衰减至0.01 m附近。根据H₂优化结果可知，LISD1仍可继续增加放大比以获得更小幅值，而LISD2的放大比已接近最优放大比。本文提出的LISD在随机激励下将主系统幅值控制在0.01　m附近，达到了更佳的减振效果，验证了LISD在减振方面的优势。由表5同样可以得出，LISD能够在整个频率范围内大幅降低主系统振动能量。

5 结　论

建立了含有惯容和杠杆元件的LISD减振器模型的刚性基础，发现幅频曲线有两个固定点。根据固定点理论和最优性能指标进行H_∞与H₂优化，分别推导出最优刚度比和最优阻尼比。由H_∞优化下最优参数可知，LISD1中惯质比与杠杆放大比取值范围较大；LISD2中惯质比与杠杆放大比取值范围较小，但是LISD2在简谐激励下的减振效果更优。由H₂优化下最优参数可知，在随机激励下LISD1减振效果更好。进一步研究表明，惯质比和杠杆放大比取值范围内越大，系统减振性能越好。通过与其他经典减振系统比较，LISD不仅显著降低主系统振动幅值与谐振频率，还可以拓宽减振系统有效频率范围。与DVA相比较，LISD对于摆脱附加吸振质量更具实际意义。

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