考虑地基土体参数空间变异性隔震结构的SSI 效应可靠性分析

方泓杰，刘禹彤，张丰宇，吴应雄; FANG Hong?jie; LIU Yu?tong; ZHANG Feng-yu; WU Ying?xiong

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1. 福州大学土木工程学院，福建福州 350108； 2. 深圳市华阳国际工程设计股份有限公司，广东深圳 518000

中图分类号： TU352.12； TU317.1

最近更新：2023-11-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2023.05.022

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摘要

土体弹性模量的空间变异性不仅影响输入地震波的特性，考虑SSI效应后还会增加隔震结构动力响应的随机性，影响结构的可靠度。为探究土体弹性模量的空间变异性对隔震结构地震动力响应的影响，将随机场模拟技术与有限元分析结合，实现基于蒙特卡罗模拟的动力“非侵入”随机有限元计算。以典型大底盘隔震结构振动台试验为例，进行确定性与随机有限元分析，计算结构相关响应参数，并使用AIC（Akaike Information Criterion）准则判定响应参数的最优边际分布。结果表明：考虑土体参数空间变异性后，不均匀软土对低频率地震波幅值的放大效应比均质软土更加明显，傅氏谱的峰值增大约14.2%，且谱值分布整体向低频集中；确定性分析低估了SSI效应对隔震结构隔震层加速度的放大作用及隔震层以上楼层的位移响应；经AIC准则检验，使用正态或对数正态分布描述数据的分布并不总是可靠的，需判定最优的拟合边际分布，从而为结构隔震提供更加合理的设计依据。

关键词

层间隔震; SSI效应; 地基空间变异性; 随机有限元法

引言

考虑桩‑土‑结构相互作用（SSI效应）时，地基土体特性对于结构动力响应的影响不容忽视，其主要体现在土体对地表峰值加速度的放大^［

1］及系统自振周期的延长^{［参考文献 2

百度学术}2］两方面。由于复杂的地质过程和荷载历史的影响，天然土体参数往往展现出显著的空间变异性^{［参考文献 3‑4}3‑4］。Wang等^{［参考文献 5

百度学术}5］、Hu等^{［参考文献 1

百度学术}1］在分析场地效应时都指出土体参数空间变异性对地震波特性的影响显著，确定性分析低估了地面峰值加速度的大小，且Wang等^{［参考文献 5

百度学术}5］指出确定性分析对SSI效应的评估并不总是可靠的。近年来，虽然土体参数的空间变异性可以在试样制备时表征，如Pua等^{［参考文献 6

百度学术}6］结合随机场与3D打印制备了具有液限空间变异性的黏土体。然而，考虑到试验过程中难以制备大量空间变异性的土体以及昂贵的时间和制造成本，采用数值模拟方法对土体空间变异性影响下的SSI效应进行可靠性分析是十分有必要的。

对于隔震结构SSI效应的研究，目前多为基于振动台试验及数值模拟的确定性分析，即假设土体参数空间恒定。杜东升等^［

7］基于群桩‑土地基的标准实验，采用改良的Penzien模型计算地基阻抗，得到了群桩作用下SSI体系的响应规律。结果表明相较于刚性地基，隔震结构的竖向构件损伤增加。于旭等^{［参考文献 8

百度学术}8］利用有限元方法（FEM）对桩‑土‑钢框架隔震结构进行了地震反应分析，结果表明土体参数对SSI效应有显著的影响，基于刚性地基假定可能会低估结构的动力响应。此外，刘伟庆等^{［参考文献 9

百度学术}9］、陈跃庆等^{［参考文献 10

百度学术}10］通过振动台试验研究了不同土性地基对隔震结构SSI效应的影响，得出软土地基将会延长结构的自振周期，并使隔震效果有所降低。Zhuang等^{［参考文献 11‑12}11‑12］、于旭等^{［参考文献 13

百度学术}13］开展了基础隔震结构振动台试验，表明不同的地基条件不仅影响结构的加速度、位移峰值，且会使基础及隔震层间产生明显的转动。吴应雄等^{［参考文献 2

百度学术}2］、许立英等^{［参考文献 14

百度学术}14］利用隔震结构振动台试验，研究了不同特性地震波、多层地基土体对SSI效应的影响，发现软弱夹层地基对近场脉冲地震动具有明显放大和滤波效应，减震效果变差、体系发生失效破坏。

以上研究从不同场地特性及地震波特性多方面考虑了SSI效应对隔震结构的影响，较好地反映了结构的动力响应规律，并指出了土体参数、地基土层分布对地震场地效应及结构SSI效应具有显著影响。但以上试验或数值模拟均为基于均质土体参数的确定性分析，未涉及地基土体参数空间变异性及土层嵌套对隔震结构动力响应的研究。考虑到土体特性在桩‑土接触、地震波滤波、地表峰值加速度放大等多方面的影响以及土体参数固有的不确定性，地基土体参数空间变异性对结构的可靠度的影响亟需进一步研究。

近年来，随着岩土工程可靠度与风险控制研究的发展，应用随机场理论^［

15］表征天然土体参数的空间变异性并分析相应工程问题已越来越广泛。例如，Li等^{［参考文献 16

百度学术}16］通过非平稳随机场分别模拟了黏土和砂土边坡的抗剪强度参数随深度线性增加的趋势并分析了两种边坡的失稳概率。Ng等^{［参考文献 4

百度学术}4］基于Copula理论提出了土体参数互相关旋转各向异性随机场，并对单层和双层土质边坡的潜在失稳风险进行了评估。Qu等^{［参考文献 17

百度学术}17］将随机场与物质点法相结合，克服了以往边坡风险评估中只能分析边坡小变形的缺陷，得到了边坡失稳后的滑动距离，影响区大小等指标，更加全面地分析了边坡的失稳风险。Li等^{［参考文献 18

百度学术}18］通过模拟不排水剪切强度的空间变异性对不同埋深下基础的失稳机制和承载力进行了概率分析。Haciefendioglu^{［参考文献 19

百度学术}19］研究了地震激励和材料参数的随机性对大坝动力响应的影响，表明考虑剪切模量的随机性引起的响应值要大于确定参数下的结果，强调了考虑材料随机性的重要性。杨鸽等^{［参考文献 20

百度学术}20］、罗博华等^{［参考文献 21

百度学术}21］模拟了堆石料的物理力学性质随机场，结合有限元对堆石坝进行地震分析，表明忽略材料的不确定性可能导致大坝的地震反应被低估。Wang等^{［参考文献 5

百度学术}5］考虑了土体弹性模量的空间变异性进行了土‑结构的随机有限元分析，发现三层框架结构的峰值加速度、层间位移平均值均大于确定性分析。虽然越来越多的研究考虑了土体参数的空间变异性，但鲜有考虑隔震结构下部软弱土层参数的空间变异性对SSI效应的影响研究。

综上所述，目前对于SSI效应的研究多基于均质土体，尚未见到随机场理论在隔震结构SSI效应研究中的应用。考虑到土体参数固有的空间变异性，确定性分析的结果对于隔震结构的设计可能偏于保守或不安全。故开展相关研究，以振动台试验结果为参照，建立合理的三维确定性有限元模型。在此基础上通过考虑土体弹性模量的空间变异性，基于蒙特卡罗模拟（MCS），得到结构动力响应的相关概率结果，从而对软土场地上结构安全进行可靠度评价。

1 模型概况

1.1 简化计算模型

以作者课题组振动台试验为参照^［

2］，延续课题组对竖向不规则结构的研究，选取具有工程应用意义的大底盘单塔楼结构：隔震结构层高29.4 m，底盘2 层，层高4.8 m，塔楼6层，层高3.3 m，柱网尺寸为7.2 m×7.2 m 和7.2 m×3.6 m。塔楼与底盘的平面面积比为2，塔楼高宽比为1∶2.75（X向）。

研究隔震建筑所在区域设防烈度8度（0.2g），场地类别Ⅲ类，地震分组第二组。试验及数值模拟中输入一维地震波，仅考虑结构X方向地震响应，故对结构进行简化，简化后结构平面、立面如图1所示。模型设计、相似关系及传感器布置详见文献［

2］，此处不再赘述。

图1 模型设计图（单位：mm）

Fig.1 Layout of the model in experiment （Unit： mm）

1.2 有限元模型建立

简化后的试验模型如图2所示，采用软件ABAQUS对其进行建模。上部结构总共为5层钢框架，上部塔楼为3层，下部底盘为2层。结构的梁柱截面均为50 mm×50 mm×3 mm方钢管，楼板为10 mm厚的钢板。钢框架的梁柱均采用三维线（wire）模拟，分别赋予梁部件和柱部件真实的截面尺寸和属性；梁柱截面使用B31单元模拟，钢楼板采用壳单元模拟。桩基承台、地基土体采用三维实体C3D8R单元建立。

图2 桩‑土‑结构有限元模型

Fig.2 Finite element model of pile‑soil‑structure

模型中选用的钢材为Q235B，双折线强化模型用于模拟钢材的性能：屈服强度标准值为235 MPa，弹性模量为2.06×10⁵MPa，密度为7850 kg/mm³，泊松比取0.3，屈服后的刚度系数为0.01。混凝土强度等级为C30~C35，采用塑性损伤模型，应力‑应变曲线根据《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）进行计算，其相关参数如表1所示。

表1 混凝土本构相关参数

Tab.1 Constitutive parameters of concrete

密度 $ρ$ /(kg∙m^-3)	弹性模量E/MPa	泊松比 μ	膨胀角 ψ/(°)	偏心率	σ_b0/ σ_c0	K_c	黏性系数
2500	3×10⁴	0.2	30	0.10	1.16	0.667	0.005

注： σ_b0和σ_c0分别为双/单轴受压极限强度比；K_c为不变量应力比。

振动台试验地基土为粉质黏土，分层（15 cm/层）填装进试验土箱，通过人工加水调节控制土体的含水率，电动冲击泵压实控制土体的密实度，保证土体性质的均匀，实测含水率为31%~35%。模型地基土采用Mohr‑Coulomb本构进行模拟。其物理力学参数均由土工试验测得，实测数据如表2所示。

表2 地基土参数

Tab.2 Parameters of foundation soil

土厚/m

密度

ρ

/(kg∙m^-3)

黏聚力 c/kPa

摩擦角φ/(°)

泊松比μ

弹性模量

E/MPa

塑限

液限

塑性指数I_P

液性指数I_r

1.2

1780

0.35

19.05%

40.91%

21.85

0.635

上部钢框架数值模型的梁、柱、板单元组装时采用共节点处理；桩基和承台与土体之间采用法向“硬接触”，切向接触采用库伦摩擦模型；上部结构与承台表面接触点设置绑定约束。地基土四周边界设置三维等效黏弹性单元^［

22］。模型的附加配重采用增大楼板密度方式施加，地震波沿模型底部激振方向以加速度方式输入。模型下部底盘与上部塔楼之间的隔震支座采用ABAQUS中的笛卡尔连接单元（Cartesian connector）和Align旋转连接单元进行模拟，隔震支座参数如表3所示。

表3 隔震支座参数

Tab.3 Parameters of isolation bearings

型号

剪切模量/MPa

内部橡胶层厚度

内部钢板厚度

屈服前刚度/

(N·mm^-1)

屈服后刚度/

(N·mm^-1)

屈服力/

水平刚度/(N·mm^-1)

γ=50%

γ=100%

LRB70

0.392

1.6 mm×10层

2 mm×9层

1071

160

103

1.3 地震波选取

本文选取输入地震动主要从频谱特性、地震持时、特征周期等几方面综合考虑，选取太平洋数据库中的El Centro波，最大峰值加速度为0.348g，地震动采用单向（X向）输入，按照0.2g的峰值进行加载，对应8度设防地震，持续时间为15.682 s，输入间隔为0.0058 s，地震动加速度时程曲线如图3所示。

图3 地震波时程曲线

Fig.3 Time‑history curve of seismic wave

El Centro波的特征周期为0.52 s，与本次桩土结构模型自振周期0.49 s接近；从频谱特性来看地震波能量在该周期附近较为集中，有利于对结构动力响应的观测。

2 土体参数空间变异性的模拟技术

2.1 随机场实现方法

随机场理论^［

14］常用于表征土体参数的空间变异性。Wang等^{［参考文献 5

百度学术}5］在分析场地效应时，通过建立无关联的摩擦角、黏聚力、含水量以及剪切模量（G）二维随机场，发现土体剪切模量的不确定性对地震波特性及结构的SSI效应的影响最为显著。此外，土体泊松比的变异性通常忽略不计^{［参考文献 3

百度学术}3］。考虑到弹性模量和剪切模量二者的对应关系E=

\frac{G}{2 (1 + μ)}

，为研究土体参数空间变异性对隔震结构的动力响应影响，限于篇幅，将桩‑土‑结构系统中地基土体的弹性模量进行离散，建立三维随机场。在本文中，由于仅考虑了土体弹性模量，E的空间变异性采用三维的单变量随机场进行表征。参考文献［23］，用一个指数型自相关函数（ACF）描述E的自相关性：

ρ (τ_{X}, τ_{Y}, τ_{Z}) = e x p [- 2 \sqrt[]{{(\frac{τ_{X}}{θ_{h}})}^{2} + {(\frac{τ_{Y}}{θ_{h}})}^{2} + {(\frac{τ_{Z}}{θ_{v}})}^{2}}]

（1）

式中 $τ_{X}$ ， $τ_{Y}$ 和 $τ_{Z}$ 分别为两点间沿X轴，Y轴和Z轴的相对距离； $θ_{h}$ 和 $θ_{v}$ 分别为沿水平和竖直方向上的波动范围。波动范围越大，土体的自相关性越强，变异性越弱。当ACF确定后，一个自相关矩阵C （n_e $\times$ n_e）如下式所示：

\begin{array}{l} C = \\ [\begin{matrix} 1 & ρ (τ_{X_{12}}, τ_{Y_{12}}, τ_{Z_{12}}) & \dots & ρ (τ_{X_{1 n_{e}}}, τ_{Y_{1 n_{e}}}, τ_{Z_{1 n_{e}}}) \\ ρ (τ_{X_{21}}, τ_{Y_{21}}, τ_{Z_{21}}) & 1 & \dots & ρ (τ_{X_{2 n_{e}}}, τ_{Y_{2 n_{e}}}, τ_{Z_{2 n_{e}}}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ ρ (τ_{X_{_{n_{e} 1}}}, τ_{Y_{n_{e} 1}}, τ_{Z_{n_{e} 1}}) & ρ (τ_{X_{_{n_{e} 2}}}, τ_{Y_{n_{e} 2}}, τ_{Z_{n_{e} 2}}) & \dots & 1 \end{matrix}] \end{array}

（2）

式中 $ρ (τ_{X_{i j}}, τ_{Y_{i j}}, τ_{Z_{i j}})$ 为任意两点间的自相关系数；n_e为模型中元素的数量，即沿X轴，Y轴和Z轴方向各元素数量的乘积。然后利用Cholesky分解技术分解自相关矩阵：

C = L L^{T}

（3）

式中 L（n_e $\times$ n_e）为下三角矩阵。

接下来，模拟一个独立的标准正态分布向量U（n_e $\times$ 1）相应的标准高斯随机场H，如下式所示：

H^{S G} = L U

（4）

式中上角标“SG”为标准高斯。

最终，通过等概率变换，非高斯随机场如下式所示：

H^{N G} = F^{- 1} \{Φ (L U)\}

（5）

式中上角标“NG”为非高斯； $F^{- 1} (\cdot)$ 为土体参数边际累积分布的逆函数； $Φ (\cdot)$ 为标准正态分布的累积分布函数。

2.2 三维随机场模型建立

根据文献［

16］，黏土体参数的水平和竖直波动范围通常为10~92.4 m和0.1~8.0 m。本文中，水平和竖直波动范围分别取10 m和0.2 m。E的变异系数设为0.5^{［参考文献 24

百度学术}24］。图4显示了典型的E的三维随机场。可以看出E沿竖直方向变异明显，具有明显的成层性。这主要与模型的尺寸以及土体空间变异性在竖直方向上的波动范围的大小有关。此外，由于土体试样在制备过程中是分层压实的，较小的竖直波动范围可以更好地表征试样在压实过程中的不确定性。

图4 典型的土体弹性模量随机场

Fig.4 Typical realizations of soil elastic modulus random fields

2.3 技术路线

采用随机有限元法分析隔震结构动力响应的基本流程如图5所示。

图5 随机有限元地震响应分析流程图

Fig.5 Flow chart of random finite element seismic response

首先确定桩‑土‑隔震结构模型的准确性，即通过ABAQUS建立确定性有限元分析模型，将计算结果与试验实测结果做比较，当结构位移、加速度、自振周期在容差范围内，则认为有限元模型是合理的。再确定土体弹性模量的均值、变异系数与边际分布，通过MATLAB自编程生成N组三维随机场，其中随机场网格大小与有限元网格大小一致。然后将随机场按单元坐标中点赋值到对应有限元模型地基土单元中进行动力计算。在每次模拟结束后，输出各楼层位移与峰值加速度等参数，判断蒙特卡罗模拟N次后响应参数是否收敛，当结果收敛时则停止计算。最后，根据所有模拟的楼层位移与加速度数据，利用AIC准则，判断其最优的边际分布，从而实现对隔震结构SSI效应的可靠性分析。

3 试验及确定性分析

3.1 振型及自振周期

图6展示了隔震结构在均质软土地基X方向一阶振型，隔震结构的主要位移响应以X方向及绕Z轴的转动为主，侧向位移主要集中在隔震层位置，符合隔震结构的变形特征。桩‑土‑隔震结构系统的试验实测自振周期为0.492 s，通过ABAQUS模态分析得到的系统自振周期为0.480 s，误差仅为2.5%。说明本文所采用的有限元模型能够较好地还原结构系统的动力特性。

图6 X方向一阶振型

Fig.6 First‑order mode shape in X direction

3.2 楼层加速度放大系数、位移对比

不同参数分布地基土表面的加速度略有差异，因此引入加速度放大系数描述楼层加速度规律，定义为：

λ = \frac{a_{s}}{a}

（6）

式中 a_s为楼层加速度响应峰值；a为结构基底加速度响应峰值。

对比分析如图7所示的加速度放大系数曲线可知，有限元模拟的各楼层加速度放大系数与振动台试验结果沿层高具有相同的分布特征，结构的隔震效果被较好地还原。加速度最大值位于第3层，试验实测加速度放大系数为1.41，有限元模拟结果为1.60，两者在数值上存在一定差距。除第3层以外，其余各层数值模拟结果与实测结果误差均在5%以内。这表明建立的桩‑土‑承台有限元模型能有效地反映体系的加速度响应规律。

图7 试验‑数值加速度放大系数对比

Fig.7 Comparison of acceleration amplification factors between experimental and numerical analyses

图8显示了试验与数值模拟的楼层位移对比。隔震层（第2层）以下有限元模型模拟的楼层位移结果与实测结果一致性高，在隔震层以上计算值略小于实验实测得到的楼层位移，误差约为5.9%。虽然数值上有微小偏差，但实验与数值模拟的位移响应随层高的发展趋势较为一致，能够反映体系的位移动力响应。

图8 试验‑数值楼层位移对比

Fig.8 Comparison of story displacements between experimental and numerical analyses

综上所述，数值模拟与振动台试验的误差较小，自振周期、振型符合隔震结构的特点且楼层加速度、位移的有限元计算结果与试验实测值吻合度较高。综合结构体系的自振特性、加速度及位移动力响应，所建立的有限元模型能够较好地反映隔震结构软土地基上的动力响应，可以将其用于接下来的随机有限元分析。

4 随机有限元计算结果分析

4.1 收敛性分析

由于随机有限元法往往与蒙特卡罗模拟相结合对研究对象进行概率分析^［

17］，因此一个合适的模拟次数对其而言非常重要。当模拟次数较少时，它将不能提供合理可靠的结果。然而当模拟次数较多时，则计算非常耗时，尤其对于三维分析。该模型在使用8核的AMD处理器，8 G RAM的计算机计算时，每一次的计算时间大约为4.5 h。考虑到计算效率和准确性，选用了100组蒙特卡罗模拟结果进行分析。

本文以楼层位移为对象，根据其平均值和标准差随模拟次数的收敛性来确定模拟次数，如图9所示。

图9 楼层位移平均值和标准差随模拟次数的变化趋势

Fig.9 Mean of story displacement and its standard deviation pin related to the number of simulations

在图9中，顶层和隔震层位移的平均值与标准差均随模拟次数的增大逐渐趋于稳定。当模拟次数大于80时，顶层位移的平均值和标准差分别趋近于9.33和0.26 mm。隔震层位移的平均值和标准差分别趋近于7.08和0.13 mm。考虑到计算结果的可靠性以及计算效率，蒙特卡罗模拟次数设置为100。其中，对于每次模拟，计算时间约为3.5 h。

4.2 地基土放大及滤波效应

图10给出了土‑隔震结构体系振动台台面A0测点与土表A7测点的傅氏谱，以及100组与A7测点相同位置随机模拟均值的傅氏谱。对比试验中测点A0与A7的傅氏谱，地震波经过软土地基后，中、低频部分（4~10 Hz）的谱值增大，而高于10 Hz的分量则被过滤^［

2］。

图10 傅里叶谱对比

Fig.10 Fourier spectrum comparison

考虑土体空间变异性后，保证土体的平均弹性模量为20 MPa的情况下，地表加速度的傅氏谱在2~5 Hz均有明显增大。100组的平均模拟结果表明，不均匀软土对低频率地震波幅值的放大效应比均质软土更加明显，傅氏谱的峰值增大约14.2%，且谱值分布整体向低频集中。试验所选El Centro地震波经过软土滤波后，具有丰富的低频能量，对超高层、隔震结构等长周期结构影响较大。

这一现象可以从波的传递理论来解释，即地基土根据随机场理论进行模拟后，可以看作为许多性质不同的单元组成的传播介质。相较于均匀土体，它在一定程度上会增加波在土体中的散射、折射。低频率的地震波周期长，在相同介质中的波长相较于高频波尺度更大。单元界面、介质性质小尺度的变化对地震波中波长大的低频部分影响较小，而高频波受到单元介质不均匀影响更大。根据文献［

2］的试验，由于软土地基本身具有放大地震波的中、低频部分，抑制高频部分的特性，加之不均匀土体介质的影响，地震波高频部分受到进一步抑制，低频部分则持续增大，整体频谱曲线向低频部分平移。由图10可知，根据弹性模量与剪切波速的关系（

E = 2 (1 + μ) ρ V_{s}^{2}

），若忽略软土参数的空间变异性，仅参照《建筑抗震设计规范》（GB 50011—2010）用覆盖层的等效剪切波速代表场地特性，很有可能低估地基土对地震波中的低频分量的放大效应，如考虑远场长周期地震则放大效应可能会更加明显，造成建筑竖向构件的损伤、破坏，尤其是超高层、隔震等自振周期较长的结构。

4.3 随机有限元结果分析

图11显示了确定性分析与随机有限元分析计算的结构加速度放大系数与楼层位移。灰色曲线代表100组随机有限元计算的结构响应结果，蓝色曲线所代表的是100组随机模拟结果的均值。

图11 均质、随机模拟与试验响应比较

Fig.11 Comparison of structure response among homogeneous soils， spatially variable soils， and experiment

通过对比随机模拟与确定性分析结果可知，无论是加速度放大系数还是楼层位移，都表明随机分析所计算的均值与均质地基土上部结构的响应结果十分接近。但对比图11中100组模拟结果随楼层变化的分布，可以明显观察到确定性分析未必总是保守与可靠的。对于加速度放大系数而言，结构第3层（隔震层）的加速度响应为所有楼层加速度响应的峰值，且在不同分析中存在较大的差异性。其中，确定性有限元模拟结果为1.60，而引入随机场后峰值加速度放大系数均值可达1.64，可以看出若采用确定性分析可能会造成基底剪力、层间剪力被低估，从而增大了隔震设计的风险。

对于楼层位移，隔震层以下随机有限元结果与确定性分析的位移结果有较高的吻合度，差异主要体现在隔震支座及上部结构的位移响应上。对于隔震支座位移，确定性分析（6.98 mm）略小于随机模拟的平均值（7.08 mm）。此外，顶层峰值位移也表现出一定的差异，均质土有限元模型分析结果为8.93 mm，而随机模拟的均值较大为9.33 mm。相较于确定性分析，随机模拟的均值更接近于实验结果（振动台试验实测楼顶相对位移为9.50 mm）。这是由于确定性分析中忽略了土体试样在制备过程中由于人工分层压实造成的不均匀性，及振动台加载过程中土体性质的变化。

正态分布和对数正态分布是两种常用的描述变量统计特征的一维边际分布。根据文献［

4］，土体参数并不总是正态或对数正态分布的。故本文考虑了四种边际分布：正态、对数正态、耿贝尔和威布尔分布。此外，当变量的实测数据或模拟数据已知时，需要选取拟合数据的最优边际分布。在本文中，AIC准则被用来确定数据的最优边际分布：

A I C = - 2 \sum_{i = 1}^{N} l n f (u_{i}; p, q) + 2 k

（7）

式中 N为测量的样本数量；k为参数的个数；u_i为参数变量；（p， q）可以利用矩估计基于参数的平均值和标准差计算。其中，AIC值越小，表明拟合数据的边际分布越优。通过式（7），各楼层加速度放大系数与位移的AIC计算值大小如表4所示。

表 4 各楼层加速度放大系数与位移的AIC计算值

Tab. 4 AIC value of acceleration amplification factor and story displacement for each story

	加速度放大系数AIC值					楼层位移AIC值
楼层	正态	对数正态	耿贝尔	威布尔	楼层	正态	对数正态	耿贝尔	威布尔
7	-519.75	-519.48	-478.61	-464.46	6	34.13	31.83	20.92	69.64
6	-834.72	-834.74	-799.43	-575.55	5	-4.67	-6.67	-17.15	34.21
5	-538.37	-537.03	-472.03	-514.51	4	-52.61	-54.35	-65.26	-1.94
4	-465.51	-465.23	-473.75	-441.99	3	-101.25	-102.54	-111.18	-34.51
3	-160.42	-158.11	-106.76	-157.53	2	-187.94	-193.69	-195.01	—
2	-449.21	-450.52	-459.47	-357.89	1	-185.33	-191.08	-192.40	—
1	-780.97	-781.36	-789.52	-432.65

由表4可以看出，对于加速度放大系数，各楼层基本上呈正态分布（如第3，4，5，7层）。对于第6层，加速度放大系数呈对数正态分布，而对于下部两层（第1，2层）则为耿贝尔分布。相较于加速度放大系数，各楼层的位移均呈耿贝尔分布。在土木工程中，正态分布常被用于描述数据的分布，例如边坡的安全系数、混凝土结构可靠度等。然而，当采用AIC准则确定与地基土体空间变异性耦合的SSI效应模拟结果的最优分布时，发现各楼层的动力响应并不总是符合正态分布，如按照正态分布考虑该体系则会影响可靠度的准确判断及安全系数的设计。因此AIC准则对于复杂体系的可靠度分析是必须的，在实际设计中有助于确定参数的最优分布，从而更加合理地设计结构，确保结构安全可靠。

图12显示了顶层和隔震层加速度放大系数的概率分布。二者均为正态分布，根据累积分布函数（CDF）曲线可得，对于顶层加速度放大系数，在100组模拟中，超过确定性计算值（0.80）的概率为88%。这意味着考虑土体参数空间变异性设计隔震可以降低震后顶层的风险。而在隔震层中，100组模拟结果超过确定性计算值（1.60）的概率为64%。可以发现确定性计算低估了隔震支座以下楼层的加速度反应，考虑到加速度与层间、基地剪力的关系，在设计隔震结构底部结构竖向构件抗剪能力时，应当充分考虑土体弹性模量空间变异性所带来的影响，以提高结构的可靠程度。

图12 顶层和隔震层加速度放大系数概率分布

Fig.12 Probability distribution of acceleration amplification factor of top and isolation floors

对于顶层位移，耿贝尔分布的AIC值最小，为该组模拟的最优边际分布。根据图13的CDF曲线可得，蒙特卡罗模拟（平均值9.33 mm）中超过确定性计算值（8.93 mm）的概率为97%，仅有3组模拟的结果小于确定性分析。结合随机分析中楼层位移的均值及超过概率的分布，确定性有限元时程分析低估了隔震结构顶层的位移响应，进而可能低估SSI体系遭受的震害风险。

图13 顶层位移概率分布

Fig.13 Probability distribution of displacement of top floor

5 结论

（1）提出了一种利用MATLAB和ABAQUS二次开发接口进行单元材料属性随机赋值的方法。随机场生成、有限元计算二者相互独立，完成了“非侵入式”随机有限元法的实现，提高了随机有限元计算时的效率、可靠性及稳定性。

（2）不均匀软土对地震波2~5 Hz低频部分的放大效应更加明显，傅氏谱的峰值增大约14.2%，能量分布整体向低频集中，增大隔震、超高层等长周期结构损伤、破坏的概率。

（3）考虑SSI效应后，确定性分析低估了隔震结构的加速度、位移响应。引入弹性模量随机场后，100组模拟隔震层加速度放大系数均值可达1.64，超过确定性计算值的概率为64%。忽视土体的空间变异性，会在一定程度上降低结构的可靠程度。

（4）考虑隔震结构动力响应时，需要判定响应结果的最优拟合边际分布，从而为结构隔震提供更加合理的设计依据。经AIC准则检验，隔震结构1， 2层加速度放大系数及各楼层的位移均呈耿贝尔分布，使用正态或对数正态分布去描述土木工程中数据的分布并不总是可靠的。

（5）本文未考虑多层土及土层、岩层嵌套及土体其他参数（如摩擦加、黏聚力）所带来的影响，模型所选择的计算工况并不能完全代表真实结构所处场地特性，考虑以上相关变量的可靠度的研究有待进一步开展。

（6）天然地震波的频谱特性、持续时间、特征周期都不尽相同，因此不同特性地震波影响下土体空间变异性对SSI效应的影响还有待进一步研究，如远场类谐和、近场脉冲型地震波的输入，进一步结合抗震规范设计反应谱，以期给出更全面的桩土结构体系可靠度评价。

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