桥梁断面范德波尔振子涡激气动力模型参数非线性化的能量原理

陈泓欣，张志田，曾加东，郄 凯; CHEN Hong-xin; ZHANG Zhi-tian; ZENG Jia-dong; QIE Kai

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郄凯 ²

1. 海南大学土木建筑工程学院，海南海口 570228； 2. 湖南大学土木工程学院，湖南长沙 410082

中图分类号： U441⁺.2

最近更新：2023-11-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2023.05.026

摘要

采用范德波尔振子类涡激气动力模型，通过能量平衡原理，推导了涡激共振过程中结构的振幅增量、初始气动阻尼、非线性气动阻尼三者之间的基本关系，进而得出模型中气动力参数ε与振幅 $y_{T}$ 之间关系的识别原理。基于某扁平箱梁桥梁断面的节段模型涡振试验结果，对范德波尔类涡激气动力模型参数随振幅的演变关系进行了识别。结果表明，在涡激共振锁定区间内，随着振幅的增加，参数ε呈单调下降的趋势。与之相反的是，参数ε形成的非线性气动阻尼比却呈非线性增长的规律。当参数ε相关的非线性气动阻尼、初始气动阻尼、结构阻尼三者之和为零时，结构达到稳定的涡振极限环状态。研究表明：初始气动阻尼特性决定了结构能否起振而形成涡振锁定区间；识别出模型参数随振幅的变化关系后，高于试验阻尼的结构涡振响应具有可预测性。

关键词

桥梁; 涡激共振; 范德波尔振子; 能量平衡; 非线性参数; 振幅

引　言

涡振是一种兼有自激与限幅性质的周期性振动，是由钝体尾流中旋涡的交替脱落所致^［

1］，但根据钝体的不同形态其机理表现也不同^{［参考文献 2

百度学术}2］。涡振会使桥梁的正常使用受到严重影响，甚至引起构件的疲劳破坏^{［参考文献 3

百度学术}3］。因此准确分析大跨度桥梁的涡振响应有实际工程意义^{［参考文献 4

百度学术}4］。

对桥梁涡振特性的研究主要依赖节段模型风洞试验或计算流体力学（CFD）数值模拟。涡激振动可以由Navier‑Stokes方程结合边界条件得出，但求解N‑S方程是困难的。Scanlan^［

5］提出了由简谐力项、气动阻尼力项与气动刚度项组成的非线性半经验涡激力模型。该模型把气动阻尼项改为由两个气动力参数控制的类范德波尔振子^{［参考文献 6

百度学术}6］，从而克服了线性模型不能反映涡振物理特性（如自激性质与限幅性质等）的缺陷。之后，文献［7‑8］研究表明，Scanlan经验非线性模型中简谐力项与气动刚度项在大质量比结构中均可忽略。从而Scanlan非线性经验模型可简化为范德波尔升力振子模型，模型参数通过稳定的振幅识别。ZHU等^{［参考文献 9

百度学术}9］针对扁平箱梁提出了一种非线性涡激力模型，并与Scanlan的经验非线性涡激力模型进行了比较。XU等^{［参考文献 10‑11}10‑11］提出了一种采用多项式表达的广义涡激力模型，通过比较评价了经验模型的优劣。这些模型也未能表达涡振时程中气动响应的非线性特征。文献［12］研究了阻尼非线性对涡激力模型参数的影响。GAO等^{［参考文献 13

百度学术}13］尝试了一种能描述涡振与颤振的自激力的模型，分析了该模型气动力参数随折减风速的演变。CHEN等^{［参考文献 14

百度学术}14］通过CFD数值模拟研究了扁平闭口箱梁涡激力的演变历程。ZHANG等^{［参考文献 15

百度学术}15］通过SIDF模型研究了涡激气动特性随瞬态振幅的分布。ZHANG等^{［参考文献 16

百度学术}16］将气动力参数简化为一个，给出了基于瞬态和稳态振幅的识别结果，并用于不同阻尼比下的涡振振幅预测。在气动特征的应用上，张志田等^{［参考文献 17

百度学术}17］基于能量原理得到节段模型至全桥模型的幅值换算关系。许坤等^{［参考文献 18

百度学术}18］通过两自由度尾流振子模型研究了桥梁节段至全桥的涡振幅值换算关系。周奇等^{［参考文献 19

百度学术}19］、秦浩等^{［参考文献 20

百度学术}20］也研究了涡振幅值换算关系。这些换算关系未考虑非线性气动特性随瞬态振幅的影响。

通常，范德波尔振子涡激力模型是常参数模型。常参数模型能正确描述某一风速、某个确定的结构阻尼比下模型的涡振稳态振幅，但不能描述涡激气动力性能随振幅演变的非线性特性。这种情况下识别出来的模型应用十分有限，比如结构阻尼比变化后模型即失效。而对阻尼比的依赖与高度敏感性是涡激共振的特征之一。针对这一问题，本文通过能量原理，探索涡激气动力模型参数非线性化的基本方法。

1 涡激气动力模型

1.1 常参数范德波尔振子模型

以文献［

7‑8］提出的经验非线性模型为基础，进行简化后可得到如下双参数范德波尔振子涡激气动力模型：

F_{a} = \frac{1}{2} ρ U^{2} D L [Y_{1} (K) (1 - ε \frac{y^{2}}{D^{2}}) \frac{\dot{y}}{U}]

（1）

式中　 $ρ$ 为空气密度；D为节段模型特征高度；U为平均来流风速； $Y_{1}$ 为试验识别得到的参数，为折算频率 $K = D ω / U$ 的函数，其中 $ω$ 为结构振动圆频率； $y 和 \dot{y}$ 分别为结构位移和速度； $ε$ 为试验识别的气动力参数； $L$ 为节段模型长度。

式（1）具有自激与限幅的双重性质，其初始气动阻尼由 $Y_{1} (K)$ 确定，当其大于结构阻尼时开始形成涡激振动，此时具有自激性质；随着振幅的增大，参数 $ε$ 发挥并扩大正阻尼作用，从而可限制振幅的无限发展，并最终形成极限环。式（1）表达的气动力在宏观上表现为阻尼形式，它不能反映气动力对结构振动频率的影响，但通常情况下，涡激共振时结构的频率变化可忽略不计。从能量吸收或耗散的角度来看，识别出参数 $ε$ 随风速以及振幅的演变特性后，该模型就具有了完备性。即可真实地反映各风速下结构的初始气动阻尼及其随振幅的演变，从而可重现结构的涡激振动响应。

1.2 参数非线性化及识别原理

对于节段模型，其运动方程可表示为：

m \ddot{y} + c \dot{y} + k y = F_{a}

（2）

式中　m为模型的振动质量；c为结构阻尼系数；k为悬挂系统的等效刚度；y， $\dot{y}$ 和 $\ddot{y}$ 分别为模型的位移、速度和加速度。

在一个周期T内，气动力所做的功 $W_{a}$ 为：

W_{a} = \int_{0}^{T} F_{a} d y

（3）

结构振幅变化时，位移以及速度时程可分别表示为：

y = y_{T} s i n (ω t) \cdot e^{λ t}

（4）

\dot{y} = [ω c o s (ω t) + λ s i n (ω t)] y_{T} e^{λ t}

（5）

式中　 $y_{T}$ 为模型在周期T内的初始振幅；t为时间； $λ$ 为振幅增长或衰减指数。

结合式（1），（3）~（5）可得：

\begin{array}{l} W_{a} / (\frac{1}{2} ρ U D L) = \frac{1}{4 λ} Y_{1} y_{T}^{2} ω^{2} (e^{2 λ T} - 1) - \\ \frac{1}{D^{2}} ε Y_{1} y_{T}^{4} ω^{4} α (ξ) (e^{4 λ T} - 1) \end{array}

（6）

其中：

α (ξ) = \frac{10 λ^{4} + 2 λ^{2} ω^{2} + ω^{4}}{32 λ {(λ^{2} + ω^{2})}^{2} (4 λ^{2} + ω^{2})}

（7）

引入指数 $λ$ 与振动宏观阻尼比 $ξ$ 的关系：

λ = - ξ ω

（8）

则式（7）可重新写为：

α (ξ) = \frac{10 ξ^{4} + 2 ξ^{2} + 1}{32 ξ {(ξ^{2} + 1)}^{2} (4 ξ^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{ω^{3}}

（9）

通常情况下，即使是明显的涡激共振，其宏观阻尼比 $|ξ| \leq 0.05$ ，此时有：

α (ξ) \approx \frac{1}{32 ξ ω^{3}} = β (ξ)

（10）

$β$ 相对 $α$ 的误差随阻尼比 $ξ$ 的变化曲线如图1所示。从图中可知，在阻尼比绝对值小于5%的情况下，该误差小于1%。因此 $W_{a}$ 可简化为：

W_{a} = \frac{1}{2} ρ U D L \frac{Y_{1} ω^{2}}{4 λ} \cdot [y_{T}^{2} (e^{2 λ T} - 1) - ε y_{T}^{4} \frac{1}{8 D^{2}} (e^{4 λ T} - 1)]

（11）

图1 $β$ 相对 $α$ 的误差随阻尼比ξ的变化

Fig.1 Variation of the $β$ ‑to‑ $α$ error with damping ratio ξ

结构阻尼力做功 $W_{c}$ 为：

W_{c} = - \int_{0}^{T} c \dot{y} d y

（12）

式中 c为结构阻尼系数，代入时程函数得：

W_{c} = - c y_{T}^{2} \frac{ω^{2}}{4 λ} (e^{2 λ T} - 1)

（13）

式（11）和（13）分别表示气动力和阻尼力在单个周期内所做的功与结构振幅 $y_{T}$ 以及指数 $λ$ 的关系。当模型振动为稳定的极限环时，气动阻尼与结构阻尼在一个周期内做功互相抵消；当模型处于振幅增长阶段时，单个周期内二者做功有一定差值，具体表现为系统的机械能增大，其增量 $Δ W$ 为：

Δ W = k (y_{T} Δ y + \frac{1}{2} Δ y^{2})

（14）

式中　 $∆ y$ 为一个周期内的振幅增量，文献［

21］研究表明高阶力分量对振动能量输入贡献甚微，因此可忽略

∆ y

高阶项。

由能量守恒定律可得，气动阻尼力做功、结构阻尼力做功以及二者差值的关系为：

Δ W = W_{a} + W_{c}

（15）

将式（11）和（13）代入式（15）后化简得：

ε = \frac{8 D^{2}}{y_{T}^{2} (e^{2 λ T} + 1)} (1 - \frac{c}{\frac{1}{2} ρ U D L Y_{1}}) - \frac{Δ W}{\frac{1}{2} ρ U D L Y_{1} \frac{ω^{2} y_{T}^{4}}{32 λ D^{2}} (e^{4 λ T} - 1)}

（16）

从结构动力学可知，在单个周期内有：

e^{λ T} = 1 + \frac{Δ y}{y_{T}}

（17）

令初始气动阻尼系数为：

c_{i n} = - \frac{1}{2} ρ U Y_{1} D L

（18）

则式（16）可写成：

ε = \frac{8 D^{2}}{y_{T}^{2} (e^{2 λ T} + 1)} (1 + \frac{c}{c_{i n}}) + \frac{Δ W \cdot 32 λ D^{2}}{c_{i n} ω^{2} y_{T}^{4} (e^{4 λ T} - 1)}

（19）

根据上式可识别参数 $ε$ 随振幅 $y_{T}$ 的演变关系。但前提是先识别出 $Y_{1}$ ，从而确定初始气动阻尼 $c_{i n}$ 。

在稳定的极限环状态下， $∆ y = 0$ ， $∆ W = 0$ ，此时式（19）简化为：

ε = \frac{4 D^{2}}{y_{T}^{2}} (1 + \frac{c}{c_{i n}})

（20）

上式表明稳态振动时 $ε$ 的值由结构阻尼、初始气动阻尼以及稳态振幅三者共同确定。

要得到式（18）表示的初始气动阻尼，需要先根据以下公式识别出 $Y_{1}$ ：

Y_{1} = \frac{n π c - m ω δ_{n}}{\frac{1}{2} ρ U n π D L}

（21）

式中　n为所采用的运动周期数，可根据实际情况选用时程曲线开始的若干个周期； $δ_{n}$ 为与n相对应计算得到的对数衰减率：

δ_{n} = l n (\frac{y_{T_{0}}}{y_{T_{n}}})

（22）

式中　 $y_{T_{0}}$ 为参考时刻0的结构振幅； $y_{T_{n}}$ 则为相对于时刻0第n个周期后的振幅。

参数识别后，根据式（18）可得到初始气动阻尼比为：

ξ_{i n} = - \frac{ρ U Y_{1} D L}{4 m ω}

（23）

2 应用算例

本文采用图2所示的桥梁主梁断面制作了缩尺比为1∶50的节段模型并进行了涡激共振风洞试验，试验装置如图3所示。模型主要特性如表1所示，试验雷诺数范围为 $1.0 \times 10^{4} ~ 1.3 \times 10^{4}$ 。传统涡激共振风洞试验中，通常在某一级风速下达到稳态振幅后再增加风速，连续测试其在下一级风速下的振动。与传统方法不同的是，在本文的试验过程中，每级风速下须首先控制模型至静止状态，再让其自由发展到等幅振动状态，从而得到各级风速下涡激振幅的完整演变过程。

图2 桥梁主梁断面构造图（单位：mm）

Fig.2 Configuration of the bridge girder section （Unit： mm）

图3 节段模型测振试验装置

Fig.3 Experimental set‑up of the sectional model vibration test

表1 模型主要特性

Tab.1 Major properties of the model

参数	数值
质量/kg	14.69
长L/m	1.54
高D/m	0.058
频率 $ω$ /（rad·s^-1）	29.50
阻尼比ξ/%	0.3

图4给出了该模型在均匀流场下的涡振锁定区间。锁定区间内共测试了六组时程曲线，相应的振幅演变曲线通过Newmark‑β法计算，结果如图5所示，U/（fD）=10.19时的时程局部细节如图6所示。在识别初始气动阻尼参数时，取时程曲线起振时若干个周期进行分析，如图7所示。但受小振幅以及特征紊流随机激励的影响，具体取几个周期进行分析是一个比较难以确定的问题，因此初始气动力参数的识别结果受多种因素制约。在图7中，根据气动阻尼比将给定时程划分为初始气动阻尼识别区、参数演变区和稳定区。其中，初始气动阻尼识别区以表观阻尼比是否接近常值确定；参数演变区内气动阻尼比依赖结构振幅，呈现明显的非线性特性；稳定区结构振幅也不再增加。

图4 涡振响应‑风速曲线

Fig.4 Vortex‑induced resonance responses versus wind velocities

图5 位移响应时程与振幅

Fig.5 Time histories of displacement response and vibration amplitudes

图6 涡振位移时程局部细节图

Fig.6 Detailed view of time history of displacement of vortex‑induced vibration

图7 参数演变分区（Ⅰ.初始气动阻尼识别区；Ⅱ.参数演变区； Ⅲ.稳定区）

Fig.7 Parameter evolution zones （Ⅰ. The initial aerodynamic damping identification zone；Ⅱ. The parameter evolution zone；Ⅲ. The stable zone）

本文采用模型的涡激共振基本信息及所识别的初始气动阻尼参数如表2所示。尽管锁定区间内涡激振幅值有较大的变化，但初始气动阻尼比 $ξ_{i n}$ 却基本保持一恒定值。

表2 涡振时程主要特性

Tab.2 Major properties of the vortex‑induced resonance time histories

U/(fD)	(y/D)/%	Y₁	c_in/[N·(m·s^-1)^-1]	ξ_in/‰
10.19	5.46	34.82	-5.256	-6.06
10.41	5.38	33.828	-5.216	-6.02
10.74	5.33	32.729	-5.206	-6.01
11.1	5.05	31.64	-5.204	-6
11.39	4.63	30.823	-5.203	-6
11.54	1.92	30.638	-5.238	-6.04

在每一级风速下，初始气动力参数 $Y_{1} (K)$ 确定后，保持其数值不变，根据式（19）可得另一参数ε随振幅的非线性演变特征，如图8所示。由式（1）可知，正值的参数 $ε$ 代表等效的正阻尼特性。图8的演变曲线则表明随着结构振幅的增加，参数 $ε$ 的值在不断减小。 $ε$ 随着振幅增加而减小的现象容易形成一种假象，即阻碍结构振幅恶性演化的效应在不断降低。但实际上，模型很快就达到了稳定的极限环状态。

图8 参数 $ε$ 随振幅的变化

Fig.8 Variation of parameter $ε$ with the vibration amplitude

造成这一假象的主要原因是 $ε$ 的数值并不能与该项气动力效应做的功直接联系起来。为更好地探索参数 $ε$ 的限幅性质，考察由该项引起的非线性气动阻尼比 $ξ_{ε}$ 。令 $W_{ε}$ 为限幅参数项气动阻尼力做的功，容易得出其表达式为：

W_{ε} = - \frac{1}{2} ρ U ε \frac{Y_{1} ω^{2} y_{T}^{4} L}{32 λ D} (e^{4 λ T} - 1)

（24）

$W_{ε}$ 所形成的等效非线性气动阻尼系数 $c_{ε}$ 可按下式计算：

W_{ε} = - c_{ε} y_{T}^{2} \frac{ω^{2}}{4 λ} (e^{2 λ T} - 1)

（25）

将式（24）代入得：

c_{ε} = \frac{1}{2} ρ U Y_{1} L \frac{ε y_{T}^{2}}{8 D} (e^{2 λ T} + 1)

（26）

根据式（26）进而可得非线性气动阻尼比 $ξ_{ε}$ 为：

ξ_{ε} = \frac{1}{2} ρ U Y_{1} L \frac{ε y_{T}^{2}}{16 m ω D} (e^{2 λ T} + 1)

（27）

式（27）给出了 $ε$ 对气动阻尼的贡献，由式（27）可知 $ξ_{ε}$ 由初始气动阻尼参数 $Y_{1}$ 与振幅 $y_{T}$ 控制。基于式（27）可识别出 $ξ_{ε}$ 的演变结果，如图9所示。对比图8与9可知，尽管参数 $ε$ 随振幅增长而降低，但非线性气动阻尼比 $ξ_{ε}$ 仍然随着振幅的增加而增加，且增长的规律是非线性的。在振幅演变最终极限环阶段，式（27）所示的阻尼比与初始气动阻尼比以及结构阻尼比三者之和为零，即

ξ_{ε} = - ξ_{s} - ξ_{i n}

（28）

式中　 $ξ_{s} = c / (2 m ω)$ 为结构阻尼比； $ξ_{i n} = c_{i n} / (2 m ω)$ 为初始气动阻尼比。初始气动阻尼比为负可提供结构振动所需能量，克服结构阻尼后使结构产生振幅递增的振动；非线性气动阻尼比提供正气动阻尼使结构振动达到限幅作用。

图9 涡振锁定区间内 $ξ_{ε}$ 的演变

Fig.9 Evolution of $ξ_{ε}$ within the vortex-induced resonance lock-in range

对于给定气动外形的桥梁断面，其初始气动阻尼比只是风速的函数，即 $ξ_{i n} = ξ_{i n} (U_{r})$ ；而 $ξ_{ε}$ 则为风速与振幅的函数，即 $ξ_{ε} = ξ_{ε} (U_{r}, y_{T})$ 。从图9可知，稳定的涡激共振极限环对应着 $ξ_{ε} = - ξ_{s} - ξ_{i n}$ 的状态。因此通过试验识别出 $ξ_{ε} (U_{r}, y_{T})$ 后，对于更大的结构阻尼比的情况（即 $ξ_{s}^{'} > ξ_{s}$ ），由于 $- ξ_{s}^{'} - ξ_{i n} < - ξ_{s} - ξ_{i n}$ ，因此 $ξ_{ε}^{'} = - ξ_{s}^{'} - ξ_{i n} < ξ_{ε}$ ，即 $ξ_{ε}^{'}$ 出现在图9中原来的路径上，其最终振幅可直接根据图中的函数关系找出。对于更小的结构阻尼比，由于 $ξ_{ε}^{'} > ξ_{ε}$ 出现在图中最高点的上方，因此无法预测其最终振幅。

值得指出的是，本文采用的范德波尔振子涡激力模型只考虑了自激气动力而忽略了强迫力。由于强迫力与自激力是不同性质的气动力，因此模型识别得到的初始气动阻尼是基于能量平衡的、具有某种“等效”性质的气动阻尼，由其带来的影响值得进一步研究。

3 结　论

本文以范德波尔振子涡激气动力模型为例，从能量平衡的角度出发研究了气动力模型参数与结构振动幅值的关系。结合以上讨论得到研究结论如下：

（1）根据节段模型涡振响应时程曲线，采用能量平衡的方法可以得到范德波尔振子模型参数随振幅非线性演变的识别途径，本文的推导表明，变参数的范德波尔振子模型在描述结构的能量特性方面具有完备性。

（2）由气动外形以及风速确定的初始气动阻尼，控制着结构是否具有涡激共振锁定区间以及锁定风速区间的宽度。而结构阻尼、初始气动阻尼以及随振幅演变的模型参数ε共同决定结构的最终涡振振幅。

（3）由气动参数ε控制的非线性气动阻尼比能非常好地体现出结构涡振能量吸收随振幅的非线性演变特性。

（4）涡激气动力模型参数ε的非线性特性被识别后，可应用于更大结构阻尼比下的涡振响应预测。

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