摘要
针对真实测量噪声影响下复杂动载荷识别精度低的问题,提出了一种基于冗余扩展余弦字典的L1范数正则化载荷识别方法。根据系统响应与外部动载荷的卷积关系,建立用于载荷识别的离散系统控制方程;选择与动载荷相适应的离散余弦基函数进行时延扩展,构造了扩展余弦字典与Db10小波字典相级联的冗余扩展字典,对复杂载荷进行稀疏表示;使用L1范数正则化方法求解稀疏表示系数,基于改进L曲线准则获取最优正则化参数,通过在GARTEUR飞机模型上试验得到的响应数据,实现不同噪声水平下对拍频载荷与连续冲击载荷时间历程的识别。试验研究结果表明:本文提出的冗余扩展余弦字典对拍频载荷与连续冲击载荷的表示稀疏性高,基于冗余扩展余弦字典的L1范数正则化载荷识别方法的识别精度高、抗噪性能好。
在飞行过程中,飞机结构通常会承受各种动载荷,如发动机不平衡振动载荷,襟缝翼连接套筒松动时的冲击载荷等。由于飞机的运行工况复杂,各种激励载荷存在叠加现象,形成拍频载荷或者连续冲击载荷等复杂动载荷形式。为防止这些复杂动载荷对机体结构造成损伤,有必要对动载荷进行识别分析,并确定产生复杂动载荷的故障原因。在实际工程中,由于载荷位置与形式的特殊性,往往无法直接通过力传感器测量载荷,因此,动载荷的间接识别方法具有重要的工程价值。
载荷识别作为结构动力学的第二类反问题,通过在易于接近的结构上测量得到响应数据,结合已知的结构模型信息,进行频域上的直接求逆或者时域上的反卷积来间接计算动载荷。然而,载荷识别受传递函数病态性和响应测量噪声的影响,容易产生不适定问题,即解的不唯一、不稳定或不存
近年来,稀疏表示技术在信号处理、图像识别等领域繁荣发展,受此启发,稀疏正则化也被引入动载荷识别领域。稀疏正则化易于得到稀疏解,因此稀疏正则化首先应用于冲击载荷的识别。乔百杰
国内外学者将稀疏表示技术应用于载荷识别领域并取得了很好的效果,但大多是通过正交完备字典对单一载荷形式的识别,较少对复杂载荷识别。为了能更好地稀疏表示复杂载荷,本文通过构造冗余扩展余弦字典,结合L1范数稀疏正则化方法来提高复杂载荷在不同噪声水平下的识别精度。通过对拍频载荷与连续冲击载荷的试验研究,说明基于冗余扩展余弦字典的L1范数正则化载荷识别方法的有效性与抗噪性。
对于一个单输入、单输出的线弹性系统,当初始位移与速度均为0时,外部激励与系统响应在时间上的卷积关系为:
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式中 表示系统响应;表示脉冲响应函数;表示系统受到的外部载荷;为时间;为时延变量,满足。
为方便计算,将
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式中 为时间间隔;为采样长度。
将
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式中 为系统响应向量;为传递函数矩阵;为待识别的载荷向
实际测量过程中噪声无法避免,因此含有测量噪声的控制方程为:
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式中 表示测量噪声;表示带有噪声的系统响应向量。
稀疏表示技术通过构造一组由已知基函数组成的基空间,并假设任意一维信号都可由少量基函数的线性组合来稀疏表示,那么所有基函数构成的基矩阵称为字典,每个基函数称为字典原
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式中 为复杂载荷在字典下的稀疏表示向量。
字典原子形态与动载荷形式的适应程度直接决定了动载荷在字典下的稀疏性,进一步决定了动载荷的识别精度。目前,多种基函数构成的解析字典已被用于载荷识别,常见的有DCT字
DCT字典是由一系列离散余弦基函数组成的字典,多用于表示具有周期性的谐波载荷,其表达式如下:
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式中 为字典阶数;为比例因子;表示原始信号;为离散点数。
随着采样个数的增加,字典阶数增加,字典原子的频率增加,当载荷频率与字典原子频率相差过大时,高频的字典原子不仅会降低计算效率,而且容易受噪声影响导致过拟合,因此有必要对离散余弦基函数进行选择与截断。
Db10小波字典是另一种比较常用的解析字典,由离散小波变换得到:
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式中 为小波基函数;为尺度参数,控制小波基函数的伸缩变换,以适应不同频率成分,一般取为2;为平移参数,通过平移变换定位时间,一般取为1;和分别为控制小波尺度参数和平移参数的整数。Db10小波字典具有紧支撑性,可以保留信号的时间特性,多用于表示冲击载荷。
针对本文中具有多种形式分量的复杂载荷,单一字典的表示不够稀疏,容易造成过拟合。因此,为了更好地稀疏表示复杂载荷,本文对低阶DCT字典中的原子进行扩展、延时,增加DCT字典的时间特性,再将其与Db10小波字典相级联,构造冗余扩展余弦字典。
首先,根据离散余弦变换
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其中包含个列向量,,每个列向量对应一个字典原子。
然后,将每个字典原子向后扩展成个相同的列向量,并在每个字典原子中加入滞后因子,其中,且,使其变换为阶的扩展余弦变换(Extend Cosine Transform, ECT)矩阵:
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式中 字典原子,其中,,;即为扩展余弦字典。
最后,为了更好地稀疏表示复杂载荷的冲击部分,利用冗余字典的优势,将设计的ECT字典和Db10小波字典相级联,形成冗余扩展余弦(Redundant Extended Cosine Transform, RECT)字典。本文将基于RECT字典进行载荷识别。
根据上述构造的字典进行载荷识别,将
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即将复杂载荷求解问题转换为稀疏表示向量的求解问题。对于大规模系统,传递函数矩阵的条件数很大,所以对
Tikhonov正则化方法是获得稳定解最常用的正则化方法,通过最小化残差范数与解范数的加权和得到稳定解:
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Tikhonov正则化的解范数为L2范数,其正则化解通常是平滑且非稀疏的,不适用于稀疏向量的求解。L0范数表示向量中非零元素的个数,L0范数正则化是将向量的稀疏性作为限制条件的优化问题,是获得稀疏结果的最直观方法,但该问题是一个非凸函数求极值的问题,直接求解比较困难,因此将L0范数松弛到L1范数,如下式所示:
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L1范数正则化目标函数是凸的但不可微,因此没有显式解,一些约束优化算法可以用于L1范数正则化的求解,如内点法(I‑PM
Tikhonov正则化和稀疏L1范数正则化都是基于罚函数的正则化方法,通过正则化参数调节残差项与正则化项之间的取舍:如果太大,响应信号的一些重要特征被忽视,导致识别结果不准确;如果太小,正则化水平会降低,产生冗余误差和不必要的计

图1 L曲线
Fig.1 L curve

图2 改进L曲线
Fig.2 Improved L curve
将GARTEUR飞机模型作为试验对象,验证所提出的基于RECT字典的载荷识别方法的有效性。GARTEUR模型是由法国国家航空航天研究院设计的标准飞机结构动力学模型,具有高柔度、低频密频的特点,常用于评估模态测试技术和测试方法的有效

图3 GARTEUR模型与试验设备
Fig.3 GARTEUR model and experimental setup
为了模拟实际飞行中的复杂载荷工况,本文将讨论两种典型复杂载荷形式,分别是拍频载荷与连续冲击载荷,载荷作用位置均为左侧机翼中部,加速度响应测量位置为机头。GARTEUR模型简化示意图、响应测量位置与激励位置如

图4 激励点与响应点的位置
Fig.4 Location of excitation point and response point
载荷识别过程分为三个步骤,第一步是获取传递函数矩阵,先测量激励点和响应点之间的频响函数,再通过逆傅里叶变换将频响函数转换为脉冲响应函数,最后离散获得传递函数矩阵;第二步是测量工况响应数据,并对响应数据进行频谱分析,构建冗余扩展字典;第三步是基于改进L曲线准则,确定正则化参数,进行载荷识别。载荷识别流程如

图5 基于RECT字典的载荷识别流程图
Fig.5 Flow chart of load identification based on RECT dictionary
LMS Test. Lab是集数据采集与试验分析为一体的振动噪声试验系统,在本次试验研究中,使用LMS Test. Lab信号采集处理软件生成载荷形式,经功率放大器与激振器作用在GARTEUR模型上,加速度传感器测量响应数据,用于载荷识别,激振器力传感器测量载荷数据,用于识别结果对比,由LMS SCADAS Ⅲ数据采集系统同步采样,采样频率为400 Hz,采样时长为1.28 s,数据长度为512。为验证冗余扩展字典的优势,本文将RECT字典与DCT字典、Db10小波字典、稀疏正则化方法以及经典Tikhonov正则化方法进行对比,讨论噪声环境下基于字典的稀疏正则化的抗噪性。如
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式中 表示直接测量的加速度响应;表示的平均值;表示离散点的加速度响应值;表示加噪声后的加速度响应;表示噪声等级,取0~1;表示标准正态分布向量。

图6 输入‑输出噪声模型
Fig.6 Input‑output noise model
同样地,输出噪声对频响函数的识别精度也会产生影响,因此在试验过程中,需要选择适当的频响函数估算形式,以达到最佳估计。本文选择频响函数的估算方法为H1估计,其估算形式为:
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式中 为响应与激励的互功率谱;为激励的自功率谱。
在响应中加入噪声,并假设噪声与激励和响应无关时,实测受噪声污染的响应信号的傅里叶频谱为:
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响应受噪声污染时频响函数的估算形式为:
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式中 表示频域载荷;表示载荷与噪声的互功率谱。
由于噪声与激励和响应无关,所以多次平均时,则:
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可见,只有当响应受到噪声污染时,不断增加平均次数得到的频响函数估算式才是实际频响函数的真估
使用相对误差RE和峰值误差PRE表示载荷识别结果的精度,使用相对稀疏度RS表示稀疏正则化结果的稀疏性,分别表示为:
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式中 表示实际测量的载荷向量;表示识别的载荷向量;表示载荷峰值;表示稀疏表示向量中零的个数。本文中的连续冲击载荷有多个冲击峰,因此峰值误差PRE为多个峰值误差的平均值。
两个相近频率的简谐载荷会耦合成拍频载荷,其时间历程如下式所示:
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使用Tikhonov正则化方法、DCT字典方法、Db10小波字典方法和RECT字典方法识别拍频载荷,设置离散余弦基矩阵阶数,滞后因子。其中Tikhonov正则化方法的正则化参数选取准则为GCV准则,基于字典的稀疏正则化方法的正则化参数选取准则为改进L曲线准则。使用测量响应数据直接进行载荷识别,结果如

图7 拍频载荷识别结果
Fig.7 Identification results of beat frequency load
为进一步研究所提方法的抗噪性,在测量响应数据中加入响应幅值40%的白噪声,如

图8 拍频载荷识别结果 (40%噪声)
Fig.8 Identification results of beat frequency load with 40% noise

图9 拍频载荷识别整体相对误差
Fig.9 The overall relative error of beat frequency load identification
相对稀疏度RS用来表征字典的匹配性,稀疏度越高,稀疏表示向量中零的个数越多,表明字典与载荷的匹配性越好,如

图10 相对稀疏度
Fig.10 Relative sparsity

图11 拍频载荷稀疏表示系数(40%噪声)
Fig.11 Sparse representation coefficients of beat frequency load with 40% noise
连续冲击载荷是另一种比较复杂的飞行载荷,本文设置的连续冲击载荷不仅包括多个局部的冲击部分,还包含整个时间历程上的谐波部分,时间历程如下式所示:
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同样地,使用Tikhonov正则化方法、DCT字典方法、Db10小波字典方法和RECT字典方法识别连续冲击载荷,设置离散余弦基矩阵阶数,滞后因子。连续冲击载荷的识别结果与实际测量结果对比如

图12 连续冲击载荷识别结果
Fig.12 Identification results of repetitive impact load
在响应数据中加入40%噪声时,连续冲击载荷的识别结果如

图13 连续冲击载荷识别结果 (40%噪声)
Fig.13 Identification results of repetitive impact load with 40% noise
连续冲击载荷不仅包含冲击部分,还包含谐波部分,因此使用整体相对误差RE和峰值误差PRE一起评估载荷识别方法的准确性。图

图14 连续冲击载荷识别整体相对误差
Fig.14 The overall relative error of repetitive impact load identification

图15 连续冲击载荷识别峰值相对误差
Fig.15 Peak relative error of repetitive impact load identification

图16 相对稀疏度
Fig.16 Relative sparsity

图17 连续冲击载荷稀疏表示系数 (40%噪声)
Fig.17 Sparse representation coefficients of repetitive impact load with 40% noise
本文针对噪声影响下传统正则化载荷识别方法对复杂载荷识别精度低的问题,提出了冗余扩展余弦字典的构造方法,建立了基于冗余字典的复杂动载荷识别模型。冗余扩展余弦字典由ECT字典与Db10小波字典级联构成,用于表示复杂载荷的主要特征。使用冗余字典与稀疏表示,将高噪声水平下的复杂载荷求解问题转换为稀疏表示向量的求解问题,L1范数正则化用于稀疏表示向量的目标函数的构建,截断牛顿内点法用于稀疏正则化的求解,改进L曲线准则用于稀疏正则化参数的选择。本文通过对拍频载荷和连续冲击载荷两种复杂载荷识别的试验研究,得出以下结论:
(1)针对测量数据中较高水平的噪声影响,经典Tikhonov正则化方法具有自身的局限性,对噪声敏感,而本文提出的基于RECT字典的载荷识别方法通过特征提取降低噪声影响,具有更好的稳定性与抗噪性。
(2)相比传统的DCT字典与Db10小波字典,基于离散余弦基函数的扩展字典和Db10小波字典级联构造的RECT字典对复杂载荷的匹配度更好,稀疏性更高,载荷识别精度也更好。
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