地震作用下调谐黏滞质量阻尼器阻尼比增效效应 与优化设计研究

贺 辉，郝霖霏，谭 平，游春华，向 越; HE Hui; HAO Lin-fei; TAN Ping; YOU Chun-hua; XIANG Yue

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地震作用下调谐黏滞质量阻尼器阻尼比增效效应与优化设计研究 PDF

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贺辉 ¹
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向越 ²

1. 湖南工学院土木与建筑工程学院，湖南衡阳 421002； 2. 广州大学土木工程学院，广东广州 510006

中图分类号： TU352.1； TU318

最近更新：2024-06-04

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.05.009

摘要

调谐黏滞质量阻尼器（Tuned Viscous Mass Damper， TVMD）是一种有效的被动惯容减震装置，本文针对地震作用下建筑结构TVMD阻尼比增效效应与优化设计展开研究。将TVMD对结构自身阻尼耗能功率的控制效果归纳为TVMD等效附加阻尼比，并基于随机振动理论推导了等效附加阻尼比的理论表达式。为了使TVMD更具实际应用价值，TVMD理论上应取得比同阻尼系数的黏滞阻尼器（VD）更大的等效附加阻尼比，这一现象定义为TVMD阻尼比增效效应，并定义了阻尼比增效系数来量化评估阻尼比增效效应。将等效附加阻尼比和阻尼比增效系数均作为优化目标，提出了TVMD最优设计参数理论解。参数分析结果表明，本文解具有良好的稳定性和适用性，为了更高效地发挥阻尼比增效效应，推荐TVMD质量比不超过0.3或阻尼比不超过0.1。以某七层标准钢框架结构作为工程算例展示了TVMD设计流程，并验证了本文解的有效性和优越性。算例分析结果表明，使用本文解设计TVMD能显著放大其阻尼元件变形，表现出了理想的阻尼比增效效应。与传统解相比，本文解还具有另一个明显优势，即保证TVMD的减震效果优于同阻尼系数的VD，不存在减震效率问题。

关键词

调谐黏滞质量阻尼器; 阻尼比增效效应; 等效附加阻尼比; 理论解

引　言

地震是危及建筑结构安全的主要自然灾害之一，振动控制技术能有效减轻结构地震破坏程度、提高结构安全性^［

1⁃4］。调谐黏滞质量阻尼器（TVMD）是一种有效的被动惯容减震控制装置，近年来，其已成为国内外众多学者关注的焦点^{［参考文献 5

百度学术}5］。TVMD一般由惯容元件、刚度元件和阻尼元件组成，其中，惯容元件与阻尼元件并联后，再与刚度元件串联。根据其内部联结形式，潘超等^{［参考文献 6⁃8}6⁃8］将TVMD称为混联Ⅱ型惯容减震系统。与传统质量元件不同的是，惯容元件的惯性力与其两端点之间的相对加速度成比例，可以得到远大于其物理质量的惯容系数，表现出显著的质量增效与负刚度效应，从而使添加惯容元件后的调谐质量减震装置大幅轻量化^{［参考文献 9

百度学术}9］。

TVMD作为一种典型的调谐类阻尼器，其减震性能与设计参数息息相关^［

5］。Ikago等^{［参考文献 10

百度学术}10］基于定点理论提出了TVMD的最优设计参数理论解，并对TVMD的减震性能进行了小尺寸振动台试验验证。Huang等^{［参考文献 11

百度学术}11］考虑简谐激励对线性与非线性阻尼TVMD进行了优化设计，研究表明，相对于线性阻尼TVMD，非线性阻尼TVMD能获得相近甚至更好的减震效果，且激励幅值对其减震性能也会有影响。考虑到地震动的随机性，Chen等^{［参考文献 12

百度学术}12］基于高斯白噪声激励研究了TVMD的优化设计问题，研究发现，TVMD能在更小的阻尼系数和物理质量前提下，获得与TMD类似甚至更好的减震效果，发挥了惯容元件的质量放大效应。Lu等^{［参考文献 13

百度学术}13］对连体结构⁃TVMD体系进行了随机优化设计，得到了TVMD最佳布置方案及最优设计参数，研究结果表明TVMD是一种有效的连体建筑结构减震装置。从TVMD理论模型来看，相较于传统黏滞阻尼器（Viscous Damper，VD），TVMD包含惯容元件与刚度元件，具备了调谐功能。由于惯容元件和刚度元件通常会使阻尼器工作原理更加复杂且造价更高，为了使其在工程应用中更具有实用价值，TVMD理论上应取得比同阻尼系数的VD更好的减震效果。然而，He等^{［参考文献 14

百度学术}14］研究发现，使用传统定点理论解设计TVMD可能存在减震效果不及同阻尼系数的VD的情况，暴露出传统优化设计方法的减震效率较低的问题。

鉴于此，本文将TVMD对结构自身阻尼耗能功率的减震效果归纳为等效附加阻尼比，并提出TVMD阻尼比增效效应来描述其减震效率。以减震效果和减震效率同时达到最优状态作为优化目标，提出TVMD的最优设计参数理论解。本文将从结构⁃TVMD体系理论模型、TVMD等效附加阻尼比理论表达式、阻尼比增效效应基本概念、阻尼比增效系数的定义以及TVMD的最优设计参数理论解等方面逐一展开研究。

1 结构⁃TVMD体系理论模型

1.1 体系运动方程

基于模态分解法将主结构简化为如图1所示的单自由度模型^［

12，14］，则地震地面加速度

{\ddot{x}}_{g}

作用下的结构⁃TVMD体系运动方程可表示为：

[\begin{matrix} m_{1} & 0 \\ 0 & m_{T} \end{matrix}] \{\begin{matrix} {\ddot{x}}_{1} \\ {\ddot{x}}_{T} \end{matrix}\} + [\begin{matrix} c_{1} & 0 \\ 0 & c_{T} \end{matrix}] \{\begin{matrix} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{T} \end{matrix}\} + [\begin{matrix} k_{1} + k_{T} & - k_{T} \\ - k_{T} & k_{T} \end{matrix}] \{\begin{matrix} x_{1} \\ x_{T} \end{matrix}\} = - \{\begin{matrix} m_{1} \\ 0 \end{matrix}\} {\ddot{x}}_{g}

（1）

式中　 $m_{1}$ ， $c_{1}$ 和 $k_{1}$ 分别为主结构的质量、阻尼和刚度系数； $m_{T}$ ， $c_{T}$ 和 $k_{T}$ 分别为TVMD的惯容、阻尼和刚度系数； $x_{1}$ 为主结构的位移响应； $x_{T}$ 为TVMD惯容元件两端的相对位移响应。

图1 单自由度结构-TVMD体系理论模型^［

14］

Fig.1 Theoretical model of an SDOF primary structure system with a TVMD^［

14］

为便于分析，定义系统参数如表1所示，并进一步将式（1）简化为以下形式：

表1 系统参数定义

Tab.1 Definition of system parameters

参数	定义
$ω_{1} = \sqrt[]{k_{1} / m_{1}}$	主结构振动频率
$ω_{T} = \sqrt[]{k_{T} / m_{T}}$	TVMD频率
$ζ_{1} = c_{1} / (2 m_{1} ω_{1})$	主结构阻尼比
$ζ_{T} = c_{T} / (2 m_{1} ω_{1})$	TVMD阻尼比
$μ = m_{T} / m_{1}$	TVMD质量比
$γ = ω_{T} / ω_{1}$	TVMD频率比

[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & μ \end{matrix}] \{\begin{matrix} {\ddot{x}}_{1} \\ {\ddot{x}}_{T} \end{matrix}\} + [\begin{matrix} 2 ζ_{1} ω_{1} & 0 \\ 0 & 2 ζ_{T} ω_{1} \end{matrix}] \{\begin{matrix} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{T} \end{matrix}\} + [\begin{matrix} ω_{1}^{2} + μ γ^{2} ω_{1}^{2} & - μ γ^{2} ω_{1}^{2} \\ - μ γ^{2} ω_{1}^{2} & μ γ^{2} ω_{1}^{2} \end{matrix}] \{\begin{matrix} x_{1} \\ x_{T} \end{matrix}\} = - \{\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\} {\ddot{x}}_{g}

（2）

1.2 功率平衡方程

根据功率平衡原理，将主结构运动方程表示成功率形式^［

15］：

W_{K} + W_{P} + W_{D} + W_{T} = W_{I}

（3）

式中　 $W_{K}$ 和 $W_{P}$ 分别为主结构的动能和弹性势能功率； $W_{D}$ 为主结构的自身阻尼耗能功率； $W_{T}$ 为转移到TVMD系统的功率，简称转移功率； $W_{I}$ 为地震输入功率。

将式（2）左右两侧同时乘以 ${\dot{x}}_{1}$ ，可得：

\begin{array}{l} W_{K} = {\ddot{x}}_{1} {\dot{x}}_{1}, W_{P} = ω_{1}^{2} x_{1} {\dot{x}}_{1}, \\ W_{D} = 2 ζ_{1} ω_{1} {\dot{x}}_{1}^{2}, W_{I} = - {\ddot{x}}_{g} {\dot{x}}_{1}, \\ W_{T} = (μ γ^{2} ω_{1}^{2} x_{1} - μ γ^{2} ω_{1}^{2} x_{T}) {\dot{x}}_{1} \end{array}

（4）

由式（4）可知，主结构的地震输入功率 $W_{I}$ 部分转移至TVMD系统中，从而减小了其自身阻尼耗能功率 $W_{D}$ ，进而可减少结构损伤。因此，本文将 $W_{D}$ 作为主要性能评价指标之一，对TVMD进行减震性能评估与优化设计。

假定地震地面加速度 ${\ddot{x}}_{g}$ 是强度为 $S_{0}$ 的理想高斯白噪声，则 $W_{D}$ 的均值可表示为：

E (W_{D}) = 2 ζ_{1} ω_{1} E ({\dot{x}}_{1}^{2})

（5）

此时，可将主结构速度响应均方值表示为^［

16］：

E ({\dot{x}}_{1}^{2}) = S_{0} \int_{- \infty}^{\infty} {|H_{1} (i ω)|}^{2} d ω

（6）

式中　 $ω$ 为地震动频率，则主结构速度频响函数可表示为：

H_{1} (i ω) = \frac{μ i ω^{3} + 2 ζ_{T} ω_{1} ω^{2} - (μ γ^{2} ω_{1}^{2}) i ω}{Ω}

（7）

分母 $Ω$ 可通过下式确定：

\begin{array}{l} Ω = μ ω^{4} - i ω^{3} (2 μ ζ_{1} ω_{1} + 2 ζ_{T} ω_{1}) + μ γ^{2} ω_{1}^{4} - \\ ω^{2} [ω_{1}^{2} (μ + γ^{2} μ^{2} + γ^{2} μ + 4 ζ_{1} ζ_{T})] + \\ i ω [2 ω_{1}^{3} (γ^{2} μ ζ_{T} + γ^{2} μ ζ_{1} + ζ_{T})] \end{array}

（8）

2 TVMD阻尼比增效效应

2.1 TVMD等效附加阻尼比

在建筑结构中安装TVMD，主要是为了增加结构的振动阻尼，达到控制结构地震响应的目的。TVMD减震效果越好，结构增加的阻尼也就越大，结构增加的这部分阻尼比可称为TVMD等效附加阻尼比 $ζ_{s}$ 。为了推导 $ζ_{s}$ 的理论表达式，可将结构⁃TVMD体系替换为一个阻尼比为 $ζ_{e}$ 的等效结构，则等效结构的速度频响函数可表示为：

{\bar{H}}_{1} (i ω) = \frac{i ω}{ω_{1}^{2} - ω^{2} + 2 i ζ_{e} ω_{1} ω}

（9）

等效结构速度响应均方值可进一步表示为：

E ({\bar{\dot{x}}}_{1}^{2}) = S_{0} \int_{- \infty}^{\infty} {|{\bar{H}}_{1} (i ω)|}^{2} d ω = \frac{π S_{0}}{2 ζ_{e} ω_{1}}

（10）

为确保等效过程中主结构自身阻尼耗能功率 $W_{D}$ 保持一致，存在^［

17］：

E ({\bar{\dot{x}}}_{1}^{2}) = E ({\dot{x}}_{1}^{2})

（11）

由此可得：

ζ_{e} = \frac{π}{2 ω_{1}} \frac{1}{\int_{- \infty}^{\infty} {|H_{1} (i ω)|}^{2} d ω}

（12）

其中：

\int_{- \infty}^{\infty} {|H_{1} (i ω)|}^{2} d ω = \frac{π}{2 ω_{1}} \frac{ε_{4} γ^{4} + ε_{2} γ^{2} + ε_{0}}{κ_{4} μ^{4} + κ_{3} μ^{3} + κ_{2} μ^{2} + κ_{1} μ + κ_{0}}

（13）

其中：

\begin{array}{l} ε_{4} = μ^{2} [(μ^{2} - μ + 1) ζ_{T} + μ^{2} ζ_{1}], \\ ε_{2} = 2 μ ζ_{T} [(2 ζ_{1}^{2} + 2 ζ_{1} ζ_{T} + μ - 1) μ + 2 ζ_{1} ζ_{T} + 2 ζ_{T}^{2}], \\ ε_{0} = ζ_{T} (μ^{2} + 4 μ ζ_{1} ζ_{T} + 4 ζ_{T}^{2}), \\ κ_{4} = γ^{4} ζ_{1} (ζ_{1} + ζ_{T}), κ_{3} = 2 γ^{2} ζ_{1} ζ_{T}, \\ κ_{2} = ζ_{T} [4 γ^{2} ζ_{1}^{3} + 4 γ^{2} ζ_{1}^{2} ζ_{T} + {(γ^{2} - 1)}^{2} ζ_{1} + γ^{4} ζ_{T}], \\ κ_{1} = 4 ζ_{1} ζ_{T}^{2} [(γ^{2} + 1) ζ_{1} + γ^{2} ζ_{T}], \\ κ_{0} = 4 ζ_{1} ζ_{T}^{3} \end{array}

（14）

TVMD等效附加阻尼比 $ζ_{s}$ 可表示为等效结构阻尼比 $ζ_{e}$ 与主结构阻尼比 $ζ_{1}$ 的差值：

ζ_{s} = ζ_{e} - ζ_{1} = \frac{κ_{4} μ^{4} + κ_{3} μ^{3} + κ_{2} μ^{2} + κ_{1} μ + κ_{0}}{ε_{4} γ^{4} + ε_{2} γ^{2} + ε_{0}} - ζ_{1}

（15）

从上述 $ζ_{s}$ 理论表达式的推导过程中不难发现， $ζ_{s}$ 越大，TVMD对主结构自身阻尼耗能功率 $W_{D}$ 的控制效果越好。因此，为了让TVMD的减震效果更加显著，TVMD优化设计应尽可能使 $ζ_{s}$ 取最大值。

2.2 TVMD阻尼比增效系数

相较于VD而言，TVMD包含惯容元件与刚度元件，具备了调谐功能。由于惯容元件和刚度元件通常会使阻尼器工作原理更加复杂且造价更高，为了使其工程应用更具有实用价值，TVMD理论上应取得比同阻尼系数的VD更大的等效附加阻尼比，这一现象可定义为TVMD阻尼比增效效应。为了量化评估阻尼比增效效应，定义TVMD的阻尼比增效系数G为：

G = ζ_{s} - ζ_{T}

（16）

式中　 $ζ_{T}$ 不仅是TVMD的阻尼比，也等于同阻尼系数的VD提供给结构的等效附加阻尼比（如表1所示）。因此， $G$ 大于零时，相较于VD而言，TVMD能提供给结构更大的等效附加阻尼比，减震效果更佳，表现出理想的阻尼比增效效应。而 $G < 0$ 时，TVMD的减震效果弱于同阻尼系数的VD，此时使用惯容元件会降低阻尼器耗能减震效果，存在明显的减震效率问题，无法展现出TVMD应有的阻尼比增效效应。因此，为了使TVMD的工程应用更加高效合理，TVMD优化设计应在确保 $G$ 大于零的前提下进行。

3 TVMD最优设计参数

3.1 最优设计参数理论解

为了确保 $G$ 大于零，保障TVMD的减震效果优于同阻尼系数的VD，展现出合理的阻尼比增效效应，本文以阻尼比增效系数 $G$ 作为优化目标，对TVMD进行优化设计。同时，为了使TVMD对主结构自身阻尼耗能功率的控制效果达到最优，选取TVMD频率比 $γ$ 与质量比 $μ$ 作为优化参数，则存在以下关系式：

\frac{\partial G}{\partial γ} = \frac{\partial ζ_{s}}{\partial γ} = 0

，

\frac{\partial G}{\partial μ} = \frac{\partial ζ_{s}}{\partial μ} = 0

（17）

显然，TVMD设计参数满足上述关系式时，其减震效果与减震效率能同时达到最优状态。为求解TVMD最优设计参数理论解，假定主结构阻尼为零（ $ζ_{1}$ =0），由式（15）和（16）可得 $G$ 的解析表达式为：

\begin{array}{l} G = \\ \frac{μ^{2} γ^{4} ζ_{T}}{μ^{4} γ^{4} + μ^{3} γ^{2} (2 - γ^{2}) + μ^{2} {(γ^{2} - 1)}^{2} + 4 ζ_{T}^{2} (1 + μ γ^{2})} - ζ_{T} \end{array}

（18）

通常情况下质量比 $μ$ 会被提前确定^［

10］，所以TVMD优化设计也是确定其频率比与阻尼比的过程。将式（18）代入式（17），整理可得TVMD的最优频率比

γ_{o p t}

和最优阻尼比

ζ_{T o p t}

分别为：

\begin{array}{l} γ_{o p t} = \sqrt[]{\frac{1}{μ} (\frac{1}{\sqrt[]{1 - 2 μ}} - 1)}, \\ ζ_{T o p t} = \frac{\sqrt[]{2 - 3 μ + (μ - 2) \sqrt[]{1 - 2 μ}}}{2} \end{array}

（19）

观察式（19）可以发现，为了保证TVMD的各物理参数均为实数，本文提出的TVMD最优设计参数理论解仅在 $μ < 0.5$ 的情况下成立。此外，由于理论解是基于无阻尼主结构推导而来的，因此有必要分析主结构阻尼对TVMD最优设计参数的影响规律。

3.2 参数分析

考虑主结构阻尼的影响，对TVMD最优设计参数进行如图2所示的分析验证，图中数值解为穷举法计算结果。可以看出，不考虑主结构阻尼（ $ζ_{1} = 0)$ 时，理论解与数值解基本一致，验证了本文推导的TVMD最优设计参数理论解的正确性。 $γ_{o p t}$ 和 $ζ_{T o p t}$ 均与质量比 $μ$ 呈正相关关系，这是因为 $μ$ 越大，转移功率 $W_{T}$ 理论上就越大，这就要求TVMD有足够大的刚度和阻尼系数来消耗 $W_{T}$ 。从图2中还可以观察到， $μ \leq 0.3$ 时，主结构阻尼比 $ζ_{1}$ 对TVMD最优设计参数的影响较小。例如 $μ = 0.3$ 且 $ζ_{1} \neq 0$ 时， $ζ_{T o p t}$ 理论解与数值解相差小于1.4%， $γ_{o p t}$ 的理论解与数值解差距也不超过2.3%。由于一般情况下 $μ$ 较小（通常 $μ \leq 0.3$ ）^［

12］，因此可认为对于有阻尼主结构而言，本文推导的TVMD最优设计参数理论解也具有良好的适用性。

μ > 0.3

时，随着

μ

的进一步增大，

γ_{o p t}

对

ζ_{1}

的增大变得敏感，

γ_{o p t}

理论解的误差也会不断增加，可能导致使用理论解设计的TVMD无法达到或接近其最优工作状态。

图2 TVMD最优设计参数分析验证

Fig.2 Verification and analysis results of TVMD optimal design parameters

为了进一步检验根据本文理论解设计的TVMD的工作性能，以等效附加阻尼比 $ζ_{s}$ 和阻尼比增效系数 $G$ 作为评价指标，对TVMD的减震效果与效率进行如图3所示的对比分析。图中，为便于展示TVMD阻尼比增效效应，将横坐标设置为 $ζ_{T}$ 。从图3中可以看出， $μ > 0.3$ 且 $ζ_{1} \neq 0$ 的情况下，虽然 $γ_{o p t}$ 和 $ζ_{T o p t}$ 与理论解的误差较大，但使用理论解设计的TVMD工作性能依然接近其最优状态，再次验证了本文所提理论解良好的稳定性和适用性。

图3 TVMD工作性能对比分析

Fig.3 Contrastive analysis of TVMD working performance

从图3（a）中不难发现， $ζ_{1}$ 对 $ζ_{s}$ 的影响较小，表明主结构阻尼对TVMD减震效果的影响不大。然而，如图3（b）所示， $ζ_{1}$ 对 $G$ 的影响较为显著。 $ζ_{T} \leq 0.22$ 时， $G$ 与 $ζ_{1}$ 呈负相关关系，即增大主结构阻尼会削弱TVMD的阻尼比增效效应。但是， $ζ_{T} > 0.22$ 时， $G$ 与 $ζ_{1}$ 呈正相关关系，此时增大主结构阻尼对增强TVMD的阻尼比增效效应是有益的。由以上分析结果可知， $ζ_{T} > 0.22$ 时，将TVMD与其他耗能装置组合使用是合理的，并且能在提高TVMD减震效率的前提下，进一步加强对结构自身阻尼耗能功率的控制效果。

结合图2（b）和图3可以发现，随着 $μ$ 和 $ζ_{T}$ 的增大， $ζ_{s}$ 和 $G$ 均增大，说明增大TVMD的质量和阻尼能有效提升其工作性能。然而， $ζ_{T} > 0.1$ 或 $μ > 0.3$ 时，继续增大 $ζ_{T}$ 和 $μ$ 无法明显改善TVMD阻尼比增效效应。因此，从主结构自身阻尼耗能功率的角度出发，为了更高效地发挥TVMD阻尼比增效效应，本文推荐TVMD的质量比 $μ$ 不超过0.3或阻尼比 $ζ_{T}$ 不超过0.1。

观察图3（b）可以发现， $ζ_{1}$ 和 $ζ_{T}$ 取不同值时， $G$ 均大于零，说明使用本文所提理论解设计的TVMD可确保 $G$ 大于零，保证TVMD的减震效果优于同阻尼系数的VD，不存在减震效率问题。从 $G$ 的定义也可以看出，阻尼比增效效应本质上描述的是TVMD的减震效率问题。以使用理论解设计的TVMD为例， $ζ_{1} = 0.02$ 且 $ζ_{T} = 0.10$ 时， $G = 0.095$ ，表明相对于同阻尼系数的VD而言，TVMD的等效附加阻尼比从0.1提高到了0.195，此时可认为其减震效率提升了95%。

3.3 理论解对比分析

Ikago等^［

10］基于传统定点理论推导的TVMD最优设计参数理论解为：

\begin{array}{l} γ_{o p t} = \sqrt[]{\frac{1}{1 - μ}}, \\ ζ_{T o p t} = \frac{μ}{2} \sqrt[]{\frac{3 μ}{(1 - μ) (2 - μ)}} \end{array}

（20）

为便于描述，将式（20）称为TVMD最优设计参数传统解。为了进一步展示本文理论解的优越性，将本文解与传统解进行了对比分析，结果如图4和5所示。从图4中可以看出，最优频率比 $γ_{o p t}$ 的本文解与传统解均与质量比 $μ$ 成正比，且本文解大于传统解。类似地，最优阻尼比 $ζ_{T o p t}$ 的本文解与传统解也与 $μ$ 呈正相关关系，但随着 $μ$ 的增大，本文解会小于传统解。

图4 TVMD最优设计参数与理论解的对比分析

Fig.4 Contrastive analysis of the theoretical solution with TVMD optimal design parameters

图5 不同理论解设计的TVMD工作性能对比分析

Fig.5 Contrastive analysis of the working performance of TVMD designed by different theoretical solutions

图5对比分析了不同理论解时TVMD的工作性能。从图5（a）中可以看出， $μ \leq 0.1$ 时，使用本文解设计TVMD的等效附加阻尼比 $ζ_{s}$ 与传统解基本一致，说明二者对主结构自身阻尼耗能功率的控制效果差别不大。 $μ > 0.1$ 时，相较于传统解，本文解设计的TVMD能获得更大的 $ζ_{s}$ ，且随着 $μ$ 的进一步增大，二者的差距会越来越显著。因此，可认为使用本文解设计的TVMD减震效果优于传统解，且随着 $μ$ 的增大，本文解在减震效果方面的优势会越来越明显。

通过观察图5（b）可以发现，使用本文解设计TVMD的阻尼比增效系数 $G$ 大于传统解，且随着 $μ$ 的增大，二者的差距会变得更加显著。结合图4（b）可知，这是因为相对于传统解，本文解能在TVMD自身阻尼比 $ζ_{T o p t}$ 较小的情况下，达到更大的 $ζ_{s}$ ，从而获得更大的阻尼比增效系数，体现出更好的减震效率。随着 $μ$ 的增大，使用传统解设计的TVMD阻尼比增效系数 $G$ 会先增大后减小。需要特别注意的是，使用传统解设计的TVMD可能会使其 $G$ 值小于零，此时TVMD的减震效果弱于同阻尼系数的VD，暴露出明显的减震效率问题。而使用本文解设计的TVMD能保证 $G$ 大于零，不存在减震效率问题。

根据以上分析结果可知，本文解能在TVMD自身阻尼系数最小的情况下，获得最大的等效附加阻尼比，从而达到最优的阻尼比增效效应。因此，使用本文解设计TVMD能使其减震效果和减震效率均达到最优状态。值得一提的是，与传统解相比，本文解还具有另一个明显优势，即保证TVMD减震效果优于同阻尼系数的VD，不存在减震效率问题。

4 工程算例

以某七层钢框架结构作为工程算例^［

18］，展示TVMD设计流程，并从地震时程响应角度验证本文所提TVMD最优设计参数理论解的有效性。算例结构数值模型如图6所示，图中，TVMD的质量比取为0.2，结构各阶模态阻尼比均为0.02。通常情况下，为了使TVMD安装方便且减震效果突出，可将其安装在结构底层^{［参考文献 19⁃20}19⁃20］。假定TVMD安装在结构底层用于控制结构一阶模态响应，此时地震地面加速度

{\ddot{x}}_{g}

作用下的结构⁃TVMD体系运动方程可表示为：

图6 七层钢框架结构数值模型示意图

Fig.6 Schematic diagram of the numerical model of a 7-story steel frame structure

M \ddot{u} (t) + C \dot{u} (t) + K u (t) = - M I {\ddot{x}}_{g} (t) + F_{T V M D}

（21）

式中　 $M$ ， $C$ 和 $K$ 分别为主结构 $n \times n$ 维质量、阻尼和刚度矩阵，本文n=7； $\ddot{u} (t)$ ， $\dot{u} (t)$ 和 $u (t)$ 分别为主结构 $n \times 1$ 维加速度、速度和位移响应向量； $I$ 为 $n \times 1$ 维单位向量； $F_{T V M D}$ 为TVMD提供给主结构的 $n \times 1$ 维控制力，可表示为：

F_{T V M D} = {\{\begin{matrix} - k_{T} (u_{1} - x_{T}), & 0, & \dots, & 0 \end{matrix}\}}^{T}

（22）

需要注意的是，此处 $u_{1}$ 表示结构底层位移响应。由此可得TVMD运动方程为：

m_{T} {\ddot{x}}_{T} + c_{T} {\dot{x}}_{T} = k_{T} (u_{1} - x_{T})

（23）

类似地，将式（21）左右两侧同时乘以 $\dot{u} (t)$ ，可得系统各部分功率表达式为：

\begin{array}{l} W_{K} = {\ddot{u}}^{T} (t) M \dot{u} (t), W_{P} = u^{T} (t) K \dot{u} (t), \\ W_{D} = {\dot{u}}^{T} (t) C \dot{u} (t), W_{I} = - M I {\ddot{x}}_{g} (t) \dot{u} (t), \\ W_{T} = - F_{T V M D} \dot{u} (t) \end{array}

（24）

假定使用本文解与传统解设计的TVMD分别为TVMD1和TVMD2，设计结果如表2所示。同时，为了研究阻尼比增效效应，假定与TVMD1和TVMD2阻尼系数相同的黏滞阻尼器分别为VD1和VD2，二者均安装在结构底层。值得一提的是，由于TVMD最优设计参数理论解是基于单自由度结构推导而来的，使用模态分解法计算结构模态质量前需将模态进行归一化处理^［

19］。由表2可知，在质量比相等的情况下（

μ = 0.2

），相对于TVMD2而言，TVMD1的刚度系数增大了14.10%，阻尼系数减小了70.64%，这与图4的计算结果是一致的。

表2 减震装置设计结果与结构一阶模态参数分析结果

Tab.2 Design results of different damping devices and analysis results of structural first modal parameters

减震装置名称	设计依据	参数	取值
TVMD1	阻尼比增效效应（本文解）	质量比 $μ$	0.200
		惯容系数 $m_{T}$ /t	3.640✕10⁴
		频率比 $γ$	1.206
		刚度系数 $k_{T}$ /(kN·m^-1)	3.014✕10⁶
		阻尼比 $ζ_{T}$	0.0378
		阻尼系数 $c_{T}$ /(kN·s·m^-1)	1.039✕10⁵
TVMD2	定点理论（传统解）	质量比 $μ$	0.200
		惯容系数 $m_{T}$ /t	3.640✕10⁴
		频率比 $γ$	1.118
		刚度系数 $k_{T}$ /(kN·m^-1)	2.589✕10⁶
		阻尼比 $ζ_{T}$	0.0645
		阻尼系数 $c_{T}$ /(kN·s·m^-1)	1.773✕10⁵
VD1	与TVMD1阻尼系数相同	阻尼系数 $c_{T}$ /(kN·s·m^-1)	1.039✕10⁵
VD2	与TVMD2阻尼系数相同	阻尼系数 $c_{T}$ /(kN·s·m^-1)	1.773✕10⁵
—	—	结构一阶模态质量/t	1.820✕10⁵
—	—	结构一阶模态周期/s	0.833

注：计算结构模态质量前需将模态进行归一化处理。

为了更直观地展示TVMD对结构自身阻尼耗能功率的控制效果与阻尼比增效效应，选取一组白噪声地震动^［

8］和两组经典地震记录^{［参考文献 21

百度学术}21］（1940 El Centro N⁃S分量和1952 Taft N⁃S分量）作为输入，进行时程响应分析，结果如图7~10所示。

图7 地震激励下结构自身阻尼耗能功率时程

Fig.7 Time‑history of the dissipation power response of the structural inherent damping under seismic excitations

图8 地震激励下结构楼层位移响应

Fig.8 Floor displacement response of the primary structure under seismic excitations

图9 El Centro地震作用下体系功率时程响应

Fig.9 Time‑history of system power response under the El Centro earthquake

图10 El Centro地震作用下阻尼元件力与变形曲线

Fig.10 Relationship between force and deformation of damping element under the El Centro earthquake

图7表示结构自身阻尼耗能功率 $W_{D}$ 的时程，可以看出，TVMD和VD均展现出了较好的控制效果。表3整理了结构自身阻尼耗能功率均值减震率分析结果。以白噪声地震动为例，VD1，VD2，TVMD1和TVMD2控制下的结构 $W_{D}$ 均值减震率分别为62.91%，73.41%，74.79%和69.31%，显然TVMD1的控制效果最佳。相较于VD1，TVMD1的控制效果提升了11.88%，表现出优良的阻尼比增效效应和减震效率。需要注意的是，TVMD2减震效果稍弱于VD2，无法体现出TVMD应有的阻尼比增效效应，一定程度上暴露出其减震效率问题。

表3 结构自身阻尼耗能功率均值减震率分析结果

Tab.3 Analysis results of the average mitigation ratio for the dissipation power response of the structural inherent damping

减震装置名称	均值减震率/%
减震装置名称	白噪声地震动	El Centro地震	Taft 地震
TVMD1	74.79	77.17	71.63
TVMD2	69.31	76.72	64.60
VD1	62.91	65.67	60.90
VD2	73.41	76.95	71.37

注：均值减震率=（减震装置控制下的结构响应均值-无控状态下的结构响应均值）/无控状态下的结构响应均值。

图8对比了不同工况下结构的楼层位移响应，图中，白噪声地震动作用下仅统计结构位移响应均方值，El Centro和Taft地震作用下计算结构位移响应峰值。可以观察到，TVMD1的减震效果最好且明显优于VD1，而TVMD2与VD2的减震效果接近。综合图7和8的分析结果可知，传统解设计的TVMD可能存在减震效率问题，本文解设计的TVMD减震效果更佳且展现出了优良的阻尼比增效效应，不存在减震效率问题，验证了本文解的有效性和优越性。

以El Centro地震记录为例，从体系功率响应的角度分析TVMD的减震机理，结果如图9所示。从图9中可以看出，TVMD能有效降低主结构的地震输入功率 $W_{I}$ 。此外， $W_{I}$ 部分转移至TVMD系统中，不仅能减小结构自身阻尼耗能功率 $W_{D}$ ，还能有效控制结构弹性势能功率 $W_{P}$ 和结构动能功率 $W_{K}$ ，进而减少结构损伤。相较于TVMD2而言，TVMD1的转移功率 $W_{T}$ 更大，这是TVMD1减震效果更好的主要原因之一。需要注意的是，VD的转移功率 $W_{T}$ 大于零，而TVMD的 $W_{T}$ 可能小于零，说明地震作用下不仅存在结构向TVMD转移功率的现象，同时TVMD也可能会向结构转移功率。这是因为TVMD惯容元件与刚度元件仅具备能量转移功能，在转移的能量无法完全流入其阻尼元件的情况下，会反向流回结构中，从而导致 $W_{T}$ 小于零。换言之，如果TVMD设计不当，导致其 $W_{T}$ 大部分时间小于零，则TVMD无法有效耗散结构振动能量，甚至可能会放大结构地震响应（例如结构在12 s时刻 $W_{P}$ 和 $W_{K}$ 的响应），这使得TVMD优化设计成为其实现实际工程应用的关键环节之一。显然，使用本文解优化设计的TVMD转移功率最大且大部分时间大于零，减震效果显著。

为进一步研究TVMD的耗能效率，图10给出了El Centro地震作用下不同减震装置阻尼元件的力与变形曲线。从图10中可以看出，相较于VD2，TVMD2阻尼元件变形并没有明显放大，表明传统解设计的TVMD无法显著改善其耗能效率。而TVMD1阻尼元件的最大变形相比于VD1增大了23.22%，说明使用本文解设计的TVMD能很好地提高其阻尼元件耗能效率，展现出合理的阻尼比增效效应，兼顾了减震效果与减震效率。上述分析结果也侧面反映出，本文解能在TVMD自身阻尼系数最小的情况下获得最好的减震效果，从而达到理想的阻尼比增效效应，解决了传统解可能存在的减震效率问题，使得TVMD更具实际工程应用价值。

5 结　论

（1）将TVMD对结构自身阻尼耗能功率的控制效果归纳为TVMD等效附加阻尼比，并推导了TVMD等效附加阻尼比的理论表达式，由此提出了阻尼比增效效应的基本概念，并定义了阻尼比增效系数。

（2）提出了TVMD最优设计参数理论解，该解仅在质量比 $μ < 0.5$ 的情况下成立。分析结果表明，本文解具有良好的稳定性和适用性，且为了更高效地发挥TVMD阻尼比增效效应，本文推荐TVMD质量比不超过0.3或阻尼比不超过0.1。

（3）本文解能在TVMD自身阻尼系数最小的情况下获得最大的等效附加阻尼比，从而达到最优的阻尼比增效效应。因此，使用本文解设计的TVMD能极大地提高其阻尼元件耗能效率，展现出合理的阻尼比增效效应，兼顾了减震效果与减震效率。与传统解相比，本文解还具有另一个明显优势，即保证TVMD的减震效果优于同阻尼系数的VD，不存在减震效率问题。

（4）如果TVMD设计不当，可能导致其转移功率大部分时间小于零，则TVMD无法有效耗散结构振动能量，甚至可能会放大结构地震响应，这使得TVMD优化设计成为其实现实际工程应用的关键环节之一。时程分析结果表明，使用本文解优化设计的TVMD转移功率最大且大部分时间大于零，减震效果显著。

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