摘要
针对惯容减震系统在非平稳地震激励下动力响应研究不足的问题,提出设有混联Ⅰ型惯容减震系统的多自由度耗能结构动力响应时变方差的解析解法。根据惯容减震系统的本构关系、结构的动力方程及非平稳地震激励,综合利用复模态法和虚拟激励法,将惯容耗能结构解耦为一阶系统,以便获得结构位移、速度、层间剪力等响应量的统一解。采用二次式分解法将统一解的时变功率谱密度函数转化为惯容耗能结构复模态特征值、模态系数、时变模态强度系数和含有圆频率平方项的二次式乘积的线性组合。在此基础上,利用非平稳模态谱矩在无限积分区间有解析解的特征,推导出非平稳地震激励下耗能结构响应时变方差的解析解。通过采用突加型白噪声激励对结构动力响应进行分析,验证了所提动力响应功率谱和时变方差的正确性。同时,基于突加型Kanai‑Tajimi模型的框架结构动力响应研究,分析了惯容系统参数对减震效果的影响。所提方法可适用于线性结构在其他非平稳调制函数的地震动下的响应分析。
惯容器作为实用有效的被动控制装置,在结构中可采用与传统消能装置相同的安装方式。在外部激励作用下,惯容器通过两端点之间的加速度差值产生作用力,从而降低结构的动力响
上述研究基于平稳地震激励(如白噪声激励、Kanai⁃Tajimi激励、双过滤白噪声激励等),虽简化了分析过程,但平稳地震激励与实际地震过程存在一定差异。实际地震过程具有明显的非平稳特性,故拟合地震的随机模型应呈非平稳状态。目前已经提出了多种拟合非平稳随机过程的功率谱模
本文为研究设有惯容减震系统的耗能结构在非平稳地震作用下的动力特性,同时为提高时变方差的计算效率和计算精度,以设有混联Ⅰ型惯容减震系统的耗能结构为例,对均匀调制非平稳随机地震激励下的结构响应做完整的推导,并获得功率谱及时变方差的解析解。应用多自由度数值算例及框架结构算例,证明了本文所求动力响应解析解的有效性,对参数及减震效果也进行了分析。
惯容减震系
(1) |
式中 ,及分别表示结构的质量矩阵、抗侧刚度矩阵及阻尼矩阵;,其中为结构第i层的质量;,其中为结构第n层抗侧刚度;依据Rayleigh阻尼模型计算,,其中a,b为Rayleigh系数;,及分别表示结构的位移向量、速度向量及加速度向量;,及分别表示惯容系统的影响向量、惯容力向量及常数向量。
混联Ⅰ型惯容系统设置于结构第i层的构造简图如

图1 混联Ⅰ型惯容系统第i层的构造简图
Fig.1 Schematic layout of SPIS-Ⅰ in the ith storey
(2) |
(3) |
式中 和分别为首层和第i层的惯容力;和分别为惯容系统中弹簧元件和惯容元件两端的相对位移,二者之和等于结构的层间位移。,及分别表示结构第i层惯容系统的刚度系数、阻尼系数及惯容系数。
将
(4) |
(5) |
式中 ,及分别表示惯容系统的阻尼系数矩阵、刚度系数矩阵及惯容系数矩阵;为弹簧元件的位移向量,;为惯容元件的位移向量,。
根据
(6) |
(7) |
混联Ⅰ型惯容减震系统被设置于多自由度结构中,构成非对称、非经典阻尼系统,需运用复模态
(8) |
(9) |
式中 和为4n×4n阶矩阵,其值分别为:
, |
, |
,,及中包含的为n×n阶零矩阵,为n×1阶零矩阵。
(10) |
复模态变换:
(11) |
式中 为模态变量。
(12) |
式中 为模态系数矩阵,。
(13) |
式中 为振动特征值,其值为复数,实部为负。
工程上具有多种非平稳地震激励,PRIESTLE
(14) |
式中 为平稳随机过程的谱密度函数;为调制函数,为的共轭项。
(15) |
根据虚拟激励
(16) |
将
(17) |
化简
(18) |
(19) |
联立式(
(20a) |
(20b) |
式中 表示第i行第k列的元素。
层间位移及层间速度分别为:
(21a) |
(21b) |
式中 ,,其中和分别为结构第1层的层间位移和层间速度。
层间剪力为:
(22a) |
(22b) |
层间位移角为:
(23a) |
(23b) |
式中 表示层高。
由式(
(24) |
式中 为响应量;为各响应分量对应的模态系数:为位移模态系数,为速度模态系数,为层间位移模态系数,为层间速度模态系数,为层间剪力模态系数,为层间位移角模态系数。
由随机振动理
(25) |
式中 与互为共轭。
(26) |
其中:
(27) |
存在恒等式:
(28) |
(29) |
依据
(30) |
(31) |
式中 ;;;;。
参数,,,,仅与复振动特征值和时间t有关,与平稳地震激励参数无关,故将以上参数称之为时变模态强度系数。将时变模态强度系数、复振动特征值及模态系数等代入
由随机振动理
(32a) |
(32b) |
式中 为动力响应的时变方差(0阶谱矩);为动力响应变化率的时变方差(2阶谱矩)。
(33) |
对
(34) |
其中:
(35a) |
(35b) |
(35c) |
某6层结构中设有混联Ⅰ型惯容系统,如

图2 混联Ⅰ型惯容耗能结构简图
Fig.2 Schematic diagram of the energy-dissipation structure with SPIS-Ⅰ
假定,和以验证上述所求响应功率及时变方差的正确性,即混联Ⅰ型惯容系统的惯容系数 md = 1.7×1
(36) |
将

图3 基于突加型白噪声激励的响应功率谱
Fig.3 Response power spectrum based on sudden-additive white noise excitation
如
(37a) |
(37b) |
(37c) |
将式(

图4 位移时变方差
Fig.4 Time-varying variance of displacement

图5 层间位移时变方差
Fig.5 Time-varying variance of interlayer displacement

图6 速度时变方差
Fig.6 Time-varying variance of velocity

图7 层间速度时变方差
Fig.7 Time-varying variance of interlayer velocity

图8 层间剪力时变方差
Fig.8 Time-varying variance of interlayer shear force

图9 层间位移角时变方差
Fig.9 Time-varying variance of interlayer deflection angle
由图
为进一步研究本文方法的实用性,采用与文献[

图10 耗能框架结构
Fig.10 Energy-dissipation frame structure
为分析框架结构基于均匀调制非平稳函数的动力特性,取调制函数为阶跃性调制函数,平稳地震激励选用考虑了基岩土层的过滤作用且具有明确频谱特性的Kanai⁃Tajimi平稳随机激励。依据文献[
(38) |
获得突加型Kanai⁃Tajimi激励下响应时变方差的前提是已知响应功率谱,响应功率谱与激励功率谱之间存在一定关系,2.2节对调制函数进行了处理,现对
(39) |
式中 ;;;。
响应功率谱可显示耗能结构响应随频率及时间的振动特性,现对框架结构的动力响应功率谱进行分析。采用与5.1节相同的惯质比、刚度比和阻尼比验证本节框架结构响应功率谱的正确性。将

图11 基于突加型Kanai-Tajimi激励的响应功率谱
Fig.11 Response power spectrum based on sudden-additive Kanai-Tajimi excitation
在已知响应功率谱的前提下,依据式(
(40a) |
(40b) |
(40c) |
将式(

图12 位移时变方差
Fig.12 Time-varying variance of displacement

图13 层间位移时变方差
Fig.13 Time-varying variance of interlayer displacement

图14 速度时变方差
Fig.14 Time-varying variance of velocity

图15 层间速度时变方差
Fig.15 Time-varying variance of interlayer velocity

图16 层间剪力时变方差
Fig.16 Time-varying variance of interlayer shear force

图17 层间位移角时变方差
Fig.17 Time-varying variance of interlayer displacement angle
上文验证了本文方法所求框架结构在突加型Kanai⁃Tajimi激励下的响应方差正确有效,为研究惯容系统主要参数对减震效果的影响,基于式(

图18 对结构响应方差的影响
Fig.18 Influence of the parameters on the structural response variance

图19 减震效果分析
Fig.19 Analysis of damping effects
本文研究了混联Ⅰ型惯容耗能结构在均匀调制非平稳随机地震激励作用下的动力响应,为进一步了解结构的振动特性,推导了结构响应时变功率谱及时变方差的解析解。基于解析解的表达式,借助与动力学相关的数值算例及框架结构的算例,验证了本文结果的正确性,分析了参数对减震效果的影响。所得结论如下:
(1) 将非平稳地震激励下的响应时变功率谱密度函数二次式分解转化为由振动特征值,模态系数及时变模态强度系数等参数构成的线性组合,给定模态响应系数可得到与之对应的响应时变功率谱,具有明确的物理意义。
(2) 经本文方法的运算,将求解响应时变方差的积分问题转化为求解非平稳模态谱矩问题。非平稳模态谱矩的积分运算存在原函数,进而可获得响应时变方差的解析解,简化了计算过程。响应的时变方差可应用于分析结构在地震激励下的可靠度、安全性及舒适性。
(3) 通过动力学数值算例与框架结构算例分析表明,本文与虚拟激励法所求响应时变功率谱完全一致,验证了本文方法的准确性。本文所求响应时变方差与虚拟激励法最精确的值相同,且计算效率较高,即在提高精度的同时也提高了计算效率。
(4) 通过参数对位移时变方差、速度时变方差和减震效果的影响分析表明,改变惯质比、刚度比及阻尼比,动力响应方差出现极小值,此时混联Ⅰ型惯容系统具有良好的减震性能。
附录A 时变模态强度系数及和的推导
依据
(A1) |
欧拉公式:
(A2) |
运用欧拉公式可将
(A3) |
同理为:
(A4) |
与推导过程相同,故运用欧拉公式推导:
(A5) |
(B1) |
(B2) |
(B3) |
参考文献
李壮壮, 申永军, 杨绍普, 等. 基于惯容-弹簧-阻尼的结构减振研究[J]. 振动工程学报, 2018, 31(6): 1061-1067. [百度学术]
LI Zhuangzhuang, SHEN Yongjun, YANG Shaopu, et al. Study on vibration mitigation based on inerter-spring-damping structure[J]. Journal of Vibration Engineering, 2018, 31(6): 1061-1067. [百度学术]
路畅, 李春祥, 曹黎媛. 基于拓扑布置的超高层建筑TTMDI风致振动控制[J]. 振动与冲击, 2022, 41(9): 244-252. [百度学术]
LU Chang, LI Chunxiang, CAO Liyuan. Wind-induced vibration control of super high-rise building TTMDI system based on topological layout[J]. Journal of Vibration and Shock, 2022, 41(9): 244-252. [百度学术]
LI Z C, XU K, MA R S, et al. A novel lever-arm tuned mass damper inerter (LTMDI) for vibration control of long-span bridges[J]. Engineering Structures, 2023, 293: 116662. [百度学术]
IKAGO K, SAITO K, INOUE N. Seismic control of single-degree-of-freedom structure using tuned viscous mass damper[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2012, 41(3): 453-474. [百度学术]
LAZAR I F, NEILD S A, WAGG D J. Using an inerter‐based device for structural vibration suppression[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2014, 43(8): 1129-1147. [百度学术]
LI Y F, LI S Y, CHEN Z Q. Optimal design and effectiveness evaluation for inerter-based devices on mitigating seismic responses of base isolated structures[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2021, 20(4): 1021-1032. [百度学术]
DE DOMENICO D, RICCIARDI G. Optimal design and seismic performance of tuned mass damper inerter (TMDI) for structures with nonlinear base isolation systems[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2018, 47(12): 2539-2560. [百度学术]
张瑞甫, 曹嫣如, 潘超. 惯容减震(振)系统及其研究进展[J]. 工程力学, 2019, 36(10): 8-27. [百度学术]
ZHANG Ruifu, CAO Yanru, PAN Chao. Inerter system and its state-of-the-art[J]. Engineering Mechanics, 2019, 36(10): 8-27. [百度学术]
KRENK S, HØGSBERG J. Tuned resonant mass or inerter-based absorbers: unified calibration with quasi-dynamic flexibility and inertia correction[J]. Proceedings of the Royal Society A, 2016, 472(2185): 20150718. [百度学术]
李创第, 江丽富, 王瑞勃, 等. 单自由度混联Ⅱ型惯容系统随机地震动响应分析[J]. 应用数学和力学, 2023, 44(3): 260-271. [百度学术]
LI Chuangdi, JIANG Lifu, WANG Ruibo, et al. Responses of SDOF structures with SPIS-Ⅱ dampers under random seismic excitation[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2023, 44(3): 260-271. [百度学术]
ZHANG R F, ZHAO Z P, PAN C, et al. Damping enhancement principle of inerter system[J]. Structural Control and Health Monitoring, 2020, 27(5): e2523. [百度学术]
潘超, 韩笑, 张瑞甫, 等. 基于最大耗能增效原则的惯容减震系统解析设计公式[J]. 工程力学, 2023, 40(4): 91-101. [百度学术]
PAN Chao, HAN Xiao, ZHANG Ruifu, et al. Closed-form design formula for inerter system based on the principle of maximum damping enhancement[J]. Engineering mechanics, 2023, 40(4): 91-101. [百度学术]
张瑞甫, 张璐琦, 潘超, 等. 考虑正常使用功能的非线性黏滞阻尼惯容系统多指标减震控制[J]. 工程科学与技术,2023, 55(5): 14-22. [百度学术]
ZHANG Ruifu, ZHANG Luqi, PAN Chao, et al. Multi-objective seismic control effect of inerter system with nonlinear viscous damping considering functionality of buildings[J]. Advanced Engineering Sciences,2023, 55(5): 14-22. [百度学术]
潘超, 刘媛, 张瑞甫, 等. 惯容减震系统性能成本控制解析设计方法[J]. 建筑结构学报, 2022, 43(11): 107-116. [百度学术]
PAN Chao, LIU Yuan, ZHANG Ruifu, et al. Performance-cost design method of inerter system based on closed-form formulae[J]. Journal of Building Structures, 2022, 43(11): 107-116. [百度学术]
潘超, 张瑞甫, 王超, 等. 单自由度混联Ⅱ型惯容减震体系的随机地震响应与参数设计[J]. 工程力学, 2019, 36(1): 129-137. [百度学术]
PAN Chao, ZHANG Ruifu, WANG Chao, et al. Stochastic seismic response and design of structural system with series-parallel-Ⅱ inerter system[J]. Engineering Mechanics, 2019, 36(1): 129-137. [百度学术]
WANG D, FAN Z L, HAO S W, et al. An evolutionary power spectrum model of fully nonstationary seismic ground motion[J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2018, 105: 1-10. [百度学术]
何浩祥, 丁佳伟, 闫维明. 地震动全非平稳时频谱统计模型及其在结构分析中的应用[J]. 振动工程学报, 2021, 34(6): 1257-1267. [百度学术]
HE Haoxiang,DING Jiawei,YAN Weiming. Statistical model of time-frequency spectrum of earthquake and application in structural vibration analysis[J]. Journal of Vibration Engineering, 2021, 34(6): 1257-1267. [百度学术]
PRIESTLEY M B. Evolutionary spectra and non-stationary processes[J]. Journal of the Royal Statistical Society: Series B, 1965, 27(2): 204-229. [百度学术]
霍慧, 陈国海, 王文培, 等. 平稳/非平稳激励下中厚圆柱壳随机振动响应的基准解[J]. 力学学报, 2022, 54(3): 762-776. [百度学术]
HUO Hui, CHEN Guohai, WANG Wenpei, et al. Benchmark solutions of random vibration responses for moderately thick cylindrical shells under stationary/nonstationary excitations[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2022, 54(3): 762-776. [百度学术]
方同, 孙木楠, 张天舒. 相关演变随机激励下响应演变谱矩阵的表达式[J]. 应用力学学报, 2008, 25(3): 351-354. [百度学术]
FANG Tong, SUN Munan, ZHANG Tianshu. General expression of response evolutionary spectrum matrix due to correlated evolutionary random excitations[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2008, 25(3): 351-354. [百度学术]
李创第, 王博文, 昌明静. 广义Maxwell阻尼耗能系统非均匀响应精细积分精确格式[J]. 桂林理工大学学报, 2021, 41(4): 783-790. [百度学术]
LI Chuangdi, WANG Bowen, CHANG Mingjing. Precise integration scheme for nonuniform response of energy dissipation system with generalized Maxwell damping[J]. Journal of Guilin University of Technology, 2021, 41(4): 783-790. [百度学术]
方同. 工程随机振动[M]. 北京: 国防工业出版社, 1995. [百度学术]
李创第, 王博文, 昌明静. 一般线性黏弹性阻尼器保护系统非均匀与完全非平稳地震响应解析分析[J]. 振动工程学报, 2022, 35(5): 1084-1100. [百度学术]
LI Chuangdi, WANG Bowen, CHANG Mingjing. Analytical analysis of non-uniform and completely nonstationary seismic response of a general linear viscoelastic damper protection system[J]. Journal of Vibration Engineering, 2022, 35(5): 1084-1100. [百度学术]
林家浩, 张亚辉. 随机振动的虚拟激励法[M]. 北京: 科学出版社, 2004. [百度学术]
XING Chenxi, WANG Hao, XU Zidong, et al. Stochastic analysis of a large-span continuous girder high-speed railway bridge under fully non-stationary earthquake[J]. Applied Sciences, 2022, 12(24): 12684. [百度学术]
张步云, 戴涛, TAN Chin-An, 等. 悬架系统振动特性的非平稳虚拟激励法研究[J]. 振动、测试与诊断, 2022, 42(2): 227-234. [百度学术]
ZHANG Buyun, DAI Tao, TAN Chin-An, et al. Non‑stationary pseudo excitation method for analyzing vibration characteristics of suspension system[J]. Journal of Vibration, Measurement and Diagnosis, 2022, 42(2): 227-234. [百度学术]
葛新广, 龚景海, 李创第, 等. 功率谱二次正交化法在随机地震动响应的应用[J].振动工程学报, 2022, 35(3): 616-624. [百度学术]
GE Xinguang, GONG Jinghai, LI Chuangdi, et al. Application of quadratic orthogonalization method of response power spectrum to random ground motion response[J]. Journal of Vibration Engineering, 2022, 35(3): 616-624. [百度学术]
邹万杰, 刘美华, 李创第, 等. 基于胡聿贤谱的带支撑广义Maxwell阻尼隔震结构随机响应分析[J]. 力学学报, 2022, 54(9): 2601-2615. [百度学术]
ZOU Wanjie, LIU Meihua, LI Chuangdi, et al. Seismic response analysis of generalized Maxwell damping isolated structure with braces under Hu Yuxian spectrum excitation[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2022, 54(9): 2601-2615. [百度学术]
葛新广. 分数导数型阻尼耗能结构地震动响应的分析方法研究[D]. 上海: 上海交通大学, 2022. [百度学术]
GE Xinguang. Research on analysis methods for seismic response of energy dissipative structure with dampers modeled by fractional derivative[D]. Shanghai: Shanghai Jiao Tong University, 2022. [百度学术]
CHEN M, LIANG X J, YANG Z W, et al. Analytical Study on the random seismic responses of an asymmetrical suspension structure[J]. Buildings, 2023, 13(6): 1435. [百度学术]
HOUSNER G W. Characteristics of strong-motion earthquakes[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 1947, 37(1): 19-31. [百度学术]