摘要
抽油杆柱是由接箍与抽油杆通过螺纹连接组成的细长杆柱。对抽油杆柱动力学行为的研究是预防抽油杆柱失效破坏,降低油井运行成本的基础。针对抽油杆柱的纵横扭耦合振动,提出杆管摩擦力产生的绕轴扭矩是扭转振动的激励这一观点。考虑摩擦力对杆柱纵横扭耦合振动的影响,建立了具有初弯曲的定向井抽油杆柱在顶端位移激励、底端载荷激励、弯曲井眼轨道激励与油管约束条件下的纵横扭耦合振动仿真模型。采用四阶龙格‑库塔法实现了对仿真模型的求解和对杆柱动力学行为的仿真模拟。仿真结果表明:杆柱的纵横扭耦合振动对杆柱纵向、横向振动仿真结果均有影响,相对来说对纵向振动的影响并不明显;油井造斜段的杆管接触力大,杆柱受压段的杆管碰撞严重,因此油井的造斜段与杆柱的受压段为杆管偏磨的危险点;正常预紧情况下,杆柱的扭转振动不足以导致抽油杆柱脱扣,但当接箍螺纹预紧力降至杆柱的最大扭矩以下后,扭转振动即可能导致抽油杆柱脱扣。
抽油杆柱作为将地面抽油机能量传递至井底抽油泵的主要载体,是有杆泵抽油系统的重要组成部
目前大量学者对抽油杆柱的纵向振动与横向振动进行了研究,实现了对油井悬点示功图预测仿真与杆管偏磨现象的分析。1963年,GIBB
LUKASIEWIC
抽油杆柱失效破坏的形式除了杆管偏磨外还包括抽油杆柱的脱扣现象。抽油杆柱的脱扣现象表明:除了纵向和横向振动以外,抽油杆柱还存在扭转振动,即抽油杆柱的动力学行为是纵横扭的耦合振动。与钻柱、螺杆泵不同,抽油机井在运行过程中,抽油杆柱不受系统外部扭矩,因此对抽油杆柱扭转激励的研究也就成为了抽油杆柱扭转振动研究的难点。王文昌
抽油杆柱的摩擦扭矩是导致杆柱扭转振动的主要原因,因此对摩擦扭矩的仿真建模是抽油杆柱扭转振动建模的基础。目前大量学者对钻柱在井眼内的摩擦扭矩进行了分析。JOHANCSIK
以上钻柱摩擦扭矩的研究为抽油杆柱摩擦扭矩的研究提供了思路。但针对抽油杆柱这一研究对象,易忽略如下问题:(1)由于钻柱工作特性的影响,自身的旋转运动是影响相对运动速度横向分量的主要原因,因此忽略杆柱横向振动对杆管相对运动速度的影响不大。但抽油杆柱工作过程中不存在主动的旋转运动,即横向振动是影响杆管之间的相对运动的主要因素,在仿真建模时应特别注意。(2)除杆管相对运动速度外,杆柱轴线方向也是影响摩擦扭矩的原因。对于钻柱来说,其轴向速度比较小、横向速度比较大,因此杆管相对运动速度对摩擦扭矩的影响要远大于杆柱轴线方向的影响,以上模型中均忽略了杆柱弯曲形态的影响。但对于抽油杆柱,其工作过程中存在轴向往复运动,轴向速度比较大、横向速度比较小,杆柱弯曲形态对摩擦扭矩的影响明显,因此在建立仿真模型时需要考虑杆柱弯曲变形的影响。
通过对以上研究内容的分析可知,由于纵向振动、横向振动与弯曲井眼轨道的共同作用,抽油杆柱受油管库仑摩擦力的方向不再与杆柱轴线方向一致,进而产生绕杆柱轴线的摩擦扭矩,导致抽油杆柱产生扭转振动。同时杆柱的扭转振动将影响杆柱弯曲剪切力与杆管相对运动,进而影响杆柱振动。
目前已有部分学者对抽油杆柱的纵横扭耦合振动进行了研究,总结其研究,存在如下不足:(1)没有研究弯曲井眼轨道对轴向往复运动抽油杆柱纵横扭耦合振动的影响;(2)未明确指出抽油杆柱扭转振动的激励。
本文针对上述不足,将定向井抽油杆柱的动力学问题概括为:具有初弯曲的抽油杆柱在顶端周期性位移激励、底端载荷激励与弯曲井眼轨道激励下,考虑油管壁与抽油杆柱的弹性碰撞、杆管之间的库仑摩擦力与液体黏滞阻力的纵横扭耦合振动问题,进而建立了定向井抽油杆柱纵横扭耦合振动的仿真模型。采用有限差分法对杆柱长度进行离散,得到常微分方程组,并进一步采用四阶龙格‑库塔法进行求解计算,实现了对定向井抽油杆柱动力行为的仿真模拟。

图1 井眼轨道及抽油杆柱空间形态示意图
Fig.1 Schematic diagram of the borehole trajectory and space configuration of the rod string
定向井的井眼轨道为一条空间曲线,现以直角坐标系进行描述。以井口为坐标原点,建立坐标系o‑xyz,坐标系中x,y和z的方向分别为单位向量i,j和k的方向。结合静位置曲线坐标sw即可得到井眼轨道上任意一点A的位置矢量表示方法:
(1) |
根据井眼轨道测量数据可以得到油井的井斜角α与方位角。据此可以计算井眼轴线上任意点A处的切向量τA、主法线向量nA、副法线向量bA、井眼轴线曲率kA与井眼轴线挠率TA,如下式表示:
(2) |
式中 为井斜角对斜深sw的一阶求导;为井斜角对斜深sw的二阶求导;为方位角对斜深sw的一阶求导;为方位角对斜深sw的二阶求导。
以井眼轨道位置矢量模型为基础,通过动位置曲线坐标s描述抽油杆柱上任意点C的轴向位置;以与C点对应的井眼轨道轴线上A点的切线向量τA描述C点的轴向位移;以A点的主法线向量nA与副法线向量bA来描述C点的横向位移。抽油杆柱上任意点C的位置矢量即可表示为:
(3) |
式中 e(s,t)为t时刻抽油杆柱上任意截面s在井眼轴线τA方向上的位移;u(s,t)为t时刻抽油杆柱上任意截面s在井眼轴线nA方向上的位移;w(s,t)为t时刻抽油杆柱上任意截面s在井眼轴线bA方向上的位移。
根据Frenet公式可求得在抽油杆柱轴线C点处的切向量τC(s)、主法线向量nC(s)、副法线向量bC(s)、杆柱轴线曲率kC(s)与杆柱轴线挠率TC(s),如下式所示:
(4) |
其中:
(5) |
式中 sc为变形后杆柱的长度;es为e对s求一阶偏导;us为u对s求一阶偏导;ws为w对s求一阶偏导;Xs为X对s求一阶偏导;Ys为Y对s求一阶偏导;Zs为Z对s求一阶偏导。
为便于研究,同时也为突出本文的研究重点,做如下简化和假设:(1)不考虑抽油机负载对电机转速的影响,假设电动机匀速转动;(2)油管柱的轴线与井眼轴线重合,且不考虑油管柱的振动;(3)忽略油管内液柱的振动;(4)忽略顶端钢丝绳的弹性;(5)抽油杆柱为均质弹性体;(6)杆柱各横截面轴力与杆柱轴线一致,杆柱各截面剪切力与杆柱轴线垂直。
根据油田实际生产情况可知,抽油杆柱在弯曲油管内的运动包括在油管约束下的空间位移与沿自身轴线的扭转。
对于抽油杆柱的纵向振动,杆柱顶端可简化为位移的边界条

图2 抽油杆柱纵横扭耦合振动力学模型
Fig.2 Mechanical model of the longitudinal transverse and torsional coupling vibration of the rod string
对微元受力进行分析,根据力与力矩的平衡关系得到描述微元段纵向振动、横向振动与扭转振动的动力学平衡方程:
(6) |
其中:
(7) |
式中 ρk为第k级抽油杆柱密度;Ak为第k级抽油杆柱横截面积;K为抽油杆柱级数;θ(s,t)为t时刻抽油杆柱任意截面s处的扭转角;Jk为第k级抽油杆柱绕自身轴线的极惯性矩;Feτ(s,t)为t时刻抽油杆柱任意截面s处井眼轴线切线方向的内力;Fen(s,t)为t时刻抽油杆柱任意截面s处井眼轴线主法线方向的内力;Feb(s,t)为t时刻抽油杆柱任意截面s处井眼轴线副法线方向的内力;Faτ(s,t)为t时刻抽油杆柱任意截面s处杆柱轴线切线方向的内力;Fmn(s,t)为t时刻抽油杆柱任意截面s处杆柱轴线主法线方向的内力;Fmb(s,t)为t时刻抽油杆柱任意截面s处杆柱轴线副法线方向的内力;Faeτ(s,t)为Faτ(s,t)在井眼轴线切线方向上的分力;Faen(s,t)为Faτ(s,t)在井眼轴线主法线方向上的分力;Faeb(s,t)为Faτ(s,t)在井眼轴线副法线方向上的分力;Fmeτ(s,t)为[Fmn(s,t)+ Fmb(s,t)]在井眼轴线切线方向上的分力;Fmen(s,t)为[Fmn(s,t)+Fmb(s,t)]在井眼轴线主法线方向上的分力;Fmeb(s,t)为[Fmn(s,t)+Fmb(s,t)]在井眼轴线副法线方向上的分力;(Feτ)s为Feτ对s求一阶偏导;(Fen)s为Fen对s求一阶偏导;(Feb)s为Feb对s求一阶偏导;feτ(s,t)为t时刻抽油杆柱任意截面s处井眼轴线切线方向所受外力;fen(s,t)为t时刻抽油杆柱任意截面s处井眼轴线主法线方向所受外力;feb(s,t)为t时刻抽油杆柱任意截面s处井眼轴线副法线法向所受外力。
对
(8) |
(9) |
抽油杆柱长度的变化属于小变形,杆柱变形依然处于弹性变形范围之内,因此由弹性力学基本知识可以得到抽油杆柱轴线切线方向上的内力与其在井眼轴线切线方向、主法线方向与副法线方向分力的表达式:
(10) |
式中 E1为第1级抽油杆柱材料弹性模量。
根据微元受力图,对微元段建立如下力矩平衡方程:
(11) |
化简
(12) |
其中:
(13) |
式中 Ms为M对s求一阶偏导;为第k级抽油杆柱材料弹性模量;mfc(s,t)为t时刻抽油杆柱任意截面s处的杆管库仑摩擦力导致的绕轴分布摩擦扭矩;mfl(s,t)为t时刻抽油杆柱任意截面s处的液体阻尼力导致的绕轴分布阻尼力矩;Ik为第k级抽油杆柱的抗弯惯性矩;Gk为第k级抽油杆柱材料的剪切弹性模量;θs为θ对s求一阶偏导;θss为θ对s求二阶偏导;(kC)s为kC对s求一阶偏导。
将
(14) |
通过坐标转换求得Fmeτ,Fmen和Fmeb的表达式:
(15) |
(16) |
杆柱各方向内力Feτ,Fen和Feb关于s的偏导均可根据
杆柱所受分布外力可以由下式表示:
(17) |
式中 ρl为管柱内液体密度;μ为液体黏性阻尼系数;g为重力加速度;ffτ为单位长度抽油杆柱沿井眼轴线切线方向的杆管库仑摩擦力;ffn为单位长度抽油杆柱沿井眼轴线主法线方向的杆管库仑摩擦力;ffb为单位长度抽油杆柱沿井眼轴线副法线方向的杆管库仑摩擦力。
杆管接触与相对运动导致的库仑摩擦力是杆柱受到的外力之一。

图3 杆管库仑摩擦力示意图
Fig.3 Diagram of Coulomb friction force between rod string and tubing
根据
(18) |
其中:
(19) |
式中 μc为库仑摩擦阻尼系数;Ft为单位长度抽油杆所受杆管接触力;ω为抽油杆柱扭转振动角速度;当i取r时,表示杆柱节点;当i取c时,表示接箍节点;当i取s时,表示扶正器节点;rr为抽油杆半径;rc为接箍半径;rs为扶正器半径,rt为油管半径。
杆管摩擦力作用在抽油杆柱的表面上,当杆柱的摩擦力方向与DR不重合时,摩擦力ff在垂直于DR的方向上产生摩擦分力ffm。摩擦分力ffm的存在将产生绕杆柱轴线的摩擦扭矩mfc,该绕轴扭矩将作为杆柱扭转振动的外力矩驱动或阻碍杆柱的扭转振动。绕轴摩擦扭矩mfc的表达式如下式所示:
(20) |
其中:
(21) |
杆柱在油液中扭转运动时还受到液体阻力矩mfl,其表达式为:
(22) |
观察式(
在研究纵向振动时,因为杆柱的顶端受悬点位移的约束,因此可以将顶端简化为位移的边界条件;杆柱底端受抽油泵的约束,因此可以将底端简化为力的边界条件。杆柱纵向振动的边界条件可表示为:
(23) |
式中 L为抽油杆柱长度。
在研究横向振动时,井口盘根约束了杆柱的横向位移和横截面转角,因此悬点至井口盘根处抽油杆柱可以简化为可轴向滑动的固定约束;杆柱底端的横向位移与横截面转角受到泵筒的约束,因此可以将杆柱底端简化为可滑动的固定约束。抽油杆柱横向振动两端的边界条件可表示为:
(24) |
抽油机与抽油杆柱通过钢丝绳与悬绳器连接在一起,两平行钢丝绳上部与驴头弧面贴合,下端与悬绳器连接,悬绳器与抽油杆柱固接在一起。在抽油机运行过程中,杆柱的扭转会带动悬绳器绕其轴线(与抽油杆柱轴线重合,与驴头圆弧面的中心线处于同一平面)旋转,导致两钢丝绳偏离其原始平面,进而使钢丝绳拉力绕悬绳器轴线产生一力矩,此力矩与杆柱顶端的扭转角相关。
(25) |
式中 prl(t)为悬点载荷;l0为悬点处于上死点时H1H4或H2H3的长度。

图4 悬绳器扭矩示意图
Fig.4 Schematic diagram of the beam hanger torque
抽油杆柱的底端与抽油泵柱塞相连,可以将底端简化为自由端。杆柱扭转振动的底部边界条件可表示为:
(26) |
对于多级组合抽油杆柱的纵横扭耦合振动,各级杆柱连接点处存在位移相等的连续性条件:
(27) |
式中 Lk为第k级抽油杆柱的长度;和分别为井眼轴线主法线和副法线方向的位移。
转角相等的连续性条件:
(28) |
轴力(大小和方向)相等的连续性条件:
(29) |
式中 pck为连接点处的液体压力。
扭矩与弯矩(大小和方向)相等的连续性条件:
(30) |
剪切力(大小和方向)相等的连续性条件:
(31) |
抽油杆柱与油管接触后产生杆管接触力,杆管接触力由杆管碰撞产生的碰撞力Fs和侧向压力Fn组成,其中Fn由杆柱弯曲导致的内力、杆柱弯曲与轴向拉力产生的侧向力组成。
杆管接触条件可以表示为:
(33) |
式中 R为油管内圆半径。
碰撞后相应节点的位置为:
(34) |
碰撞后相应节点的速度为:
(35) |
其中:
(36) |
式中 t+表示碰撞后,t-表示碰撞前;γs为碰撞恢复系数,其值取决于碰撞体的材
由于较难确定碰撞力的瞬时值,因此本文通过冲量的改变来描述碰撞的强弱。假设在t
(37) |
杆柱侧向压力的计算公式为:
(38) |
杆管接触力可以表示为:
(39) |
将抽油杆柱离散为N个节点,各节点的间距为Δs。为实现对抽油杆柱振动的仿真计算,首先需要对描述杆柱纵横扭耦合振动的二阶偏微分方程进行降阶处理。对扭转振动的二阶偏微分仿真模型进行降阶处理,得到其一阶偏微分形式,如下式所示:
(40) |
对纵向振动的二阶偏微分仿真模型进行降阶处理,得到其一阶偏微分形式,如下式所示:
(41) |
对横向振动的二阶偏微分仿真模型进行降阶处理,得到其一阶偏微分形式,如下式所示:
(42) |
建立变量数组[y]用以分别代表不同的变量。数组[y]中各元素与变量的对应关系如下式所示:
(43) |
应用四阶龙格‑库塔法求解数学方程需要知道数组[y]对t的微分形式。数组[y]对t的微分形式中各元素与变量的对应关系如下式所示:
(44) |
式中 θ,e,u和w对s的偏微分项可通过牛顿中心差分确定。式中大部分杆柱节点所对应的变量可以由式(
杆柱上第一个仿真节点与最后一个仿真节点的动力学行为受边界条件的影响,第一个仿真节点在计算θ对s的偏导时采用前差公式,最后一个节点在计算θ和e对s的偏导时采用后差公式。根据顶部边界条件得到第一个仿真节点的运动行为,如下式所示:
(45) |
根据杆柱振动的底部边界条件得到最后一个仿真节点的运动行为:
(46) |
式中 为杆柱底端所受柱塞载荷。
多级抽油杆柱的连接点ik的位移和转角与其前、后各一个仿真节点(ik-1,ik+1)的位移可以由模型的连续性条件确定。通过泰勒级数展开求得连接点处轴向位移、横向位移与扭转角对s的偏导数。将连接点处偏导数的表达式代入式(
最后根据式(

图5 仿真计算流程图
Fig.5 Simulation calculation flowchart
本文算例仿真参数如
参数 | 型号/数值 | 参数 | 型号/数值 |
---|---|---|---|
抽油机型号 | CYJ10-3-53HB | 含水率/% | 19 |
电机型号 | Y280S-6 | 动液面/m | 1570 |
l0/m | 0.5 | 泵径/mm | 44 |
Lh/m | 0.21 | 油管内径/mm | 62 |
下泵深度/m | 2100 | 碰撞恢复系数γs | 0.56 |
冲程/m | 3 | 碰撞时间ts /s | 0.03 |
冲次/mi | 4 | 库仑摩擦系数 | 0.07 |
油压/MPa | 0.3 | 抽油杆材质 | 20CrMo |
套压/MPa | 0.5 |
钢密度/(kg | 7800 |
气油比/( | 21 | 弹性模量/GPa | 210 |
杆柱组合/(mm×m) |
25×400+22×750+ 19×950 | ||
各级杆柱对应接箍外径/mm | 55, 46, 41.3 | ||
各级杆柱对应扶正器外径/mm | 58,58,58 |

图6 井眼轨道示意图
Fig.6 Diagram of wellbore trajectory
分别采用本文建立的抽油杆柱纵横扭耦合振动仿真模型与文献[

图7 悬点示功图仿真结果
Fig.7 Simulation results of suspension indicator diagram

图8 泵功图仿真结果
Fig.8 Simulation results of pump power diagram
观察杆柱纵向振动仿真结果发现:(1)杆柱纵横扭耦合振动仿真模型所得杆柱纵向振动仿真结果与杆柱纵向振动仿真模型所得杆柱纵向振动仿真结果近似。(2)与杆柱纵向振动仿真结果相比,在抽油机的下冲程纵横扭耦合振动所得到的悬点载荷更小。
以上现象说明:(1)杆柱的纵横扭耦合振动对杆柱纵向振动的仿真结果有影响,但影响不明显。(2)考虑杆柱的纵横扭耦合振动后杆柱的下行阻力增大,进而导致下冲程悬点载荷降低。
分别采用本文建立的抽油杆柱纵横扭耦合振动仿真模型与文献[

图9 13.5 s时横向位移仿真结果
Fig.9 Simulation results of the transverse displacementat 13.5 s

图10 13.5 s时杆管接触力仿真结果
Fig.10 Simulation results of the contact force betwen rod string and tubing at 13.5 s
观察杆柱横向振动仿真结果对比发现:(1)相同时刻两种模型的杆柱横向位移仿真结果有明显区别,在杆柱的受压段(约1800~2100 m)尤为不同。(2)相同时刻两种模型的杆管接触力的仿真结果也有明显区别。由于考虑纵横扭耦合振动后杆柱下行阻力更大,因此在杆柱的造斜段(约400~800 m)纵横扭耦合振动仿真模型所得杆管接触力仿真值相对较小,在杆柱的受压段,两种模型所得杆管接触力仿真值明显不同。
以上现象说明:杆柱的纵横扭耦合振动对杆柱的横向振动仿真结果有明显影响,在进行横向振动仿真时有必要考虑纵横扭耦合振动的影响。

图11 单次全冲程不同节点横向振动仿真结果
Fig.11 The simulation results of the rod string transversevibration of different nodes in a complete stroke

图12 最大杆管接触力仿真结果
Fig.12 Simulation results of maximum contact force between rod string and tubing
观察图
以上现象说明:(1)油井的造斜段与杆柱的受压段为杆管偏磨的危险点。(2)扶正器有降低杆管偏磨现象的作用。
采用本文建立的纵横扭耦合振动仿真模型对杆柱进行仿真,得到如


图13 杆柱扭转振动仿真结果
Fig.13 Simulation results of the rod string torsional vibration
根据
(1)指出了弯曲变形抽油杆柱与油管之间的摩擦力是影响杆柱横向振动的一项主要因素;杆管摩擦力导致的绕轴扭矩是抽油杆柱扭转振动的根本原因。考虑杆柱纵、横、扭振动之间的相互影响,建立了抽油杆柱的纵横扭耦合振动仿真模型。采用四阶龙格‑库塔法实现对仿真模型的求解。
(2)仿真结果表明:杆柱的耦合振动对杆柱纵向振动、横向振动仿真结果均有影响。油井造斜段的杆管接触力相对较大,杆柱受压段的横向振动更为剧烈,因此油井的造斜段与杆柱的受压段均为杆管偏磨的危险点。定向井中,正常预紧情况下杆柱的扭转振动不足以导致抽油杆柱的脱扣现象,但当其螺纹预紧力降低到杆柱的最大扭矩后即可能导致抽油杆柱脱扣。
(3)本文研究工作指出了抽油杆柱扭转振动的机理,实现了对定向井抽油杆柱纵横扭耦合振动的仿真求解,对指导油田生产具有理论与实际意义。除了杆柱偏磨外,杆柱的疲劳破坏也是油井常见故障,因此下一步有必要基于本文仿真结果分析抽油杆柱在多轴应力下的疲劳强度。
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