摘要
采用Euler‑Beroulli梁理论,提出一种考虑水‑桩‑土相互作用的连续变截面海上风机单桩基础的结构简化模型,运用微分变换法求解简化模型横向振动控制方程。基于塔筒直径、连接段高度与水体附加质量、叶轮‑机舱组件质量和三弹簧刚度对横向自振频率展开研究。研究表明,变截面塔筒底部直径对自振频率的影响大于顶部直径对自振频率的影响;水深较深时,水体附加质量对远海风机结构自振频率的影响不能忽略;风机横向自振频率随叶轮‑机舱组件质量的增大而减小;弹簧刚度对土体模量敏感性大小为:水平弹簧>耦合弹簧>旋转弹簧;自振频率对弹簧刚度敏感性大小为:耦合弹簧>水平弹簧>旋转弹簧;土体模量发生变化时,主要通过水平弹簧和耦合弹簧影响自振频率。
海上风电由于其风速高、风向稳定、占地面积小以及噪声低等优点,成为优质的可再生能源。截至目前,中国海上风机累计装机容量约40 G
截至2020年,欧洲已建成的海上风机超过80%采用单桩基础,中国已建或在建的海上风电项目,超过70%的风机也采用单桩基
风机在运营过程中会受到涡轮机转动产生的1P频率和叶片扫掠塔筒产生的2P/3P频率影响。一旦发生频率偏移,系统自振频率接近1P或2P/3P频率,会导致结构动态响应放大,产生过大位移,将对结构稳定性产生不利影响。为了避免系统共振,通常采用“软‑刚”模
在风机前期设计中,考虑桩‑土相互作用可以准确求解结构横向自振频率。目前,单桩式风机结构的桩‑土相互作用可以采用表观固定法、耦合弹簧法和分布弹簧法模拟。其中,席义博
研究表明水对结构动力响应有一定影
综上所述,以往研究通常将风机塔桶截面简化为等截面梁,忽略风机塔筒变截面特性,致使频率计算结果不精确;或将风机塔桶结构划分为多段均匀梁,此方法虽然能计算风机各阶自振频率,但求解过程中系数冗杂。针对上述问题,本文将风机塔筒简化为连续变截面梁,引入微分变换法(differential transform method,DTM)将非线性控制方程变换成代数方程进行求
由桩‑土相互作用提供给桩顶的刚度简化为水平,耦合和旋转三个独立弹簧,可用如下刚度矩阵表示:
(1) |
式中,、和分别为柱顶的水平、耦合和旋转弹簧刚度;和分别为柱顶的水平力和弯矩;和分别为柱顶的位移和转角。对于均质土体、线性土体以及非线性土体的三弹簧刚度计算式均不相同,并且弹簧刚度大小与桩径、桩长、桩的模量和土体泊松比、土体模量等参数有关。文献[
土体类型 | ||||
---|---|---|---|---|
均质 | ||||
非均质 | 非线性 | |||
线性 |
注: 为桩弹性模量;为土体模量;,为土体泊松比;为桩径。
土体类型 | ||||
---|---|---|---|---|
均质 | ||||
非均质 | 非线性 | |||
线性 |
注: 为桩长。
风机单桩基础结构简化模型如
(2) |
式中,为梁(即塔筒)横向位移;为沿梁轴线坐标;为时间;和分别为截面处塔筒的惯性矩和面积;为塔筒高度;为连接段高度;为修正后的风机轴向力, [

图1 风机结构模型
Fig.1 Wind turbine structure model
建立连接段横向振动方程:
(3) |
式中,为梁(即连接段)横向位移;和分别为连接段的截面惯性矩和截面面积;为水引起的附加质量。
(4) |
本文将结构‑水相互作用产生的动水压力视为部分水体质量与结构加速度的乘积,部分水体质量称附加质量,表达
(5) |
式中,为结构刚性运动引起的附加质量;为连接段直径;为水体密度。
根据力平衡和位移协调,连接段底部边界条件表示为:
(6) |
塔筒顶部边界条件表示为:
(7) |
式中,为塔筒顶部截面惯性矩。
引入DTM将
(8) |
(9) |
式中,表示函数对自变量的求导阶数;取为任何正整数。
原函数 | 变换函数 |
---|---|
注: 原函数用小写字母表示,变换后的函数用对应的大写字母表示;为非零常数;为狄克拉函数。
当梁作自由振动时,其解有如下形式:
(10) |
式中,为梁的横向振动函数;为梁横向自由振动圆频率;。
引入无量纲系数和,并代入式(
(11) |
(12) |
(13) |
(14) |
连接段顶部和塔筒底部边界为:
(15) |
;;;;;;;;;;;;;;根据DTM变换法则,控制方程
(16) |
(17) |
连接段底部边界条件表示为:
(18) |
塔筒底部与连接段顶部边界表示为:
(19) |
式中,为泰勒级数的展开项数。
塔筒顶部边界条件表示为:
(20) |
式中,、、和分别为、、和的微分变换式。
根据边界条件
, | (21) |
将
(22) |
式中,、、和为迭代次求出的含有自振频率的多项式,要使上式有非零解,则系数矩阵行列式为零,即
(23) |
利用MATLAB求解
以文献[
规格参数/单位 | Lely A2 | Irene Vorrink |
---|---|---|
/t | 32 | 35.7 |
/t | 31.44 | 37 |
/m | 41.5 | 51 |
/m | 1.9 | 1.7 |
/m | 3.2 | 3.5 |
/m | 4.6 | 3.8 |
/m | 3.7 | 3.5 |
/m | 12 | 14 |
/GPa | 210 | 210 |
/(kg· | 7850 | 7850 |
/(GN· | 0.52 | 0.58 |
/GN | -2.74 | -3.25 |
/(GN·m·ra | 23.63 | 29.67 |

图2 频率收敛性曲线
Fig.2 Frequency convergence curve
为验证算法正确性和地基模型简化方法正确性,将本文计算频率和ARANY计算结
风机 | 实测 频率/Hz | 本文三弹簧结果 | ARANY三弹簧结 | 本文固接结果 | ARANY固接结 | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
频率/Hz | 误差/% | 频率/Hz | 误差/% | 频率/Hz | 误差/% | 频率/Hz | 误差/% | ||
Lely A2 | 0.634 | 0.639 | 0.79 | 0.643 | 1.41 | 0.708 | 11.67 | 0.713 | 12.46 |
Irene Vorrink | 0.546 | 0.549 | 0.55 | 0.552 | 1.10 | 0.584 | 6.96 | 0.583 | 6.78 |
在海上风机结构的设计和研究过程中,进行自振频率敏感性分析有助于指导设计优化、评估系统稳定性,这对于确保风机安全运行至关重要。本文基于Lely A2风机尺寸,定量分析了塔筒直径、连接段高度、叶轮‑机舱组件质量和三弹簧刚度等因素变化对风机系统一阶横向自振频率的影响规律。
为定量分析塔筒直径变化对自振频率影响,定义塔筒顶部直径与底部直径比值为锥率,绘制塔筒直径变化对自振频率的影响曲线,如

图3 塔筒直径变化对风机自振频率的影响曲线
Fig.3 Impact curve of tower diameter variation on wind turbine natural frequency
由
随着能源紧缺日益严峻,海上风机必将向深海和大型化方向发展,要求桩基础和上部结构能在更深的水体环境中稳定运

图4 连接段高度与水体附加质量对风机自振频率的影响曲线
Fig.4 Impact curve of connection section height and water‑added mass on wind turbine natural frequency
由
考虑不同功率涡轮机质量,即叶轮‑机舱组件质量大小对自振频率的影响,结果如

图5 叶轮‑机舱组件质量对自振频率的影响曲线
Fig.5 Impact curve of impeller-cabin component mass on natural frequency
本文采用三弹簧地基模型,桩‑土相互作用通过改变三种弹簧刚度大小影响风机自振频率,为厘清三弹簧刚度变化对自振频率的影响机理,进行如下理论分析。现已知Lely A2风机场地最上层为软黏土,其下为致密砂层,由文献[


图6 土体模量对弹簧刚度的影响曲线
Fig.6 Impact curve of soil modulus on spring stiffness
由

图7 弹簧刚度对自振频率的影响曲线
Fig.7 Impact curve of spring stiffness on natural frequency
综上,三种弹簧刚度对土体模量敏感性顺序为:水平弹簧>耦合弹簧>旋转弹簧;风机系统横向自振频率对三种弹簧刚度敏感性顺序为:耦合弹簧>水平弹簧>旋转弹簧。综合分析可知,采用三弹簧地基模拟桩‑土相互作用时,土体模量发生变化,主要通过三种弹簧中的水平弹簧和耦合弹簧影响风机系统横向自振频率。
本文基于Euler‑Bernoulli梁振动理论,采用微分变化法,充分考虑塔筒变截面特性和水‑桩‑土间的相互作用,提出单桩式海上风机的横向自振频率求解计算方法,进一步分析了塔筒直径、连接段高度和水体附加质量、叶轮‑机舱组件质量对单桩式海上风机横向自振频率的影响,并厘清地基模量通过三弹簧刚度对自振频率的影响机理,得出以下结论:
(1)本文算法频率计算结果与实测频率吻合良好,说明采用DTM求解四阶变系数微分方程原理简单,结果精度高,适用性强,为解决此类问题提供了一种有效方法。
(2)底部直径对横向自振频率影响程度更高;风机横向自振频率对连接段高度更敏感,当连接段高度超过20 m后,水体附加质量对风机自振频率影响不能忽略;随叶轮‑机舱组件质量增大,风机自振频率逐渐减小,当叶轮‑机舱组件质量增加至50 t后,其敏感性逐渐下降。
(3)随土体模量增加,水平和旋转弹簧刚度增加,耦合弹簧刚度减小,其中土体模量对水平弹簧刚度影响程度最大,耦合弹簧刚度次之,旋转弹簧刚度最小;风机自振频率随水平弹簧刚度和旋转弹簧刚度增加而增大,随耦合弹簧刚度减小而减小,其中耦合弹簧刚度对自振频率偏移影响最显著,水平弹簧刚度次之,旋转弹簧刚度较小。综上,土体模量变化主要通过水平弹簧和耦合弹簧影响自振频率。
参考文献
王立忠, 洪义, 高洋洋, 等. 近海风电结构台风环境动力灾变与控制[J]. 力学学报, 2023, 55(3): 567-587. [百度学术]
WANG Lizhong, HONG Yi, GAO Yangyang, et al. Dynamic catastrophe and control of offshore wind power structures in typhoon environment[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2023, 55(3): 567-587. [百度学术]
赖踊卿. 软黏土地基海上风机大直径单桩水平受荷特性与分析模型[D]. 杭州: 浙江大学, 2021. [百度学术]
LAI Yongqing. Modelling of lateral behaviour of large-diameter monopiles supporting offshore wind turbines in soft clay[D]. Hangzhou: Zhejiang University, 2021. [百度学术]
DET NORSKE VERITAS. Design of offshore wind turbine structures: DNV-OS-J101[S]. Høvik: DNV, 2005. [百度学术]
席义博, 龚优华, 潘嘉宁, 等. 单桩基础弱化对海上风机动力响应的影响[J]. 中南大学学报(自然科学版), 2023, 54(1): 229-237. [百度学术]
XI Yibo, GONG Youhua, PAN Jianing, et al. Influence of monopile foundation weakening on dynamic response of offshore wind turbine[J]. Journal of Central South University(Science and Technology), 2023, 54(1): 229-237. [百度学术]
ZAAIJER M B. Foundation modelling to assess dynamic behaviour of offshore wind turbines[J]. Applied Ocean Research, 2006, 28(1): 45-57. [百度学术]
BHATTACHARYA S, ADHIKARI S. Experimental validation of soil-structure interaction of offshore wind turbines[J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2011, 31(5-6): 805-816. [百度学术]
ADHIKARI S, BHATTACHARYA S. Dynamic analysis of wind turbine towers on flexible foundations[J]. Shock and Vibration, 2012, 19(1): 37-56. [百度学术]
SHADLOU M, BHATTACHARYA S. Dynamic stiffness of monopiles supporting offshore wind turbine generators[J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2016, 88: 15-32. [百度学术]
ARANY L, BHATTACHARYA S, ADHIKARI S, et al. An analytical model to predict the natural frequency of offshore wind turbines on three-spring flexible foundations using two different beam models[J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2015, 74: 40-45. [百度学术]
ARANY L, BHATTACHARYA S, HOGAN S J, et al. Dynamic soil-structure interaction issues of offshore wind turbines[C]//Proceedings of the 9th International Conference on Structural Dynamics. Porto, Portugal: 2014: 3611-3617. [百度学术]
ARANY L, BHATTACHARYA S, MACDONALD J H G, et al. Closed form solution of eigen frequency of monopile supported offshore wind turbines in deeper waters incorporating stiffness of substructure and SSI[J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2016, 83: 18-32. [百度学术]
杨春宝, 王睿, 张建民. 单桩基础型近海风机系统自振频率实用计算方法[J]. 工程力学, 2018, 35(4): 219-225. [百度学术]
YANG Chunbao, WANG Rui, ZHANG Jianmin. Numerical method for calculating system fundamental frequencies of offshore wind turbines with monopole foundations[J]. Engineering Mechanics, 2018, 35(4): 219-225. [百度学术]
SPYRAKOS C C, XU C. Soil-structure-water interaction of intake-outlet towers allowed to uplift[J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 1997, 16(2): 151-159. [百度学术]
赵密, 常逸夫, 王丕光, 等. 考虑水-桩-土相互作用的单桩式海上风机结构系统自振频率解析解[J]. 震灾防御技术, 2020, 15(4): 659-669. [百度学术]
ZHAO Mi, CHANG Yifu, WANG Piguang, et al. An analytical natural frequency solution of monopile offshore wind turbine considering pile-soil interaction[J]. Technology for Earthquake Disaster Prevention, 2020, 15(4): 659-669. [百度学术]
赵密, 苏成坤, 王丕光, 等. 地震作用下水-结构-土动力相互作用分析[J]. 工程力学, 2022, 39(3): 51-63. [百度学术]
ZHAO Mi, SU Chengkun, WANG Piguang, et al. Analysis of water-structure-soil dynamic interaction under earthquakes[J]. Engineering Mechanics, 2022, 39(3): 51-63. [百度学术]
许成顺, 孙毅龙, 翟恩地, 等. 海上风电单桩基础自振频率及参数影响分析[J]. 太阳能学报, 2020, 41(12): 297-304. [百度学术]
XU Chengshun, SUN Yilong, ZHAI Endi, et al. Offshore turbine monopile foundation natural frequency and parameter impact analysis[J]. Acta Energiae Solaris Sinica, 2020, 41(12): 297-304. [百度学术]
任文渊. 近海风电基础流固耦合三维动力响应分析[D]. 杨凌: 西北农林科技大学, 2011. [百度学术]
REN Wenyuan. Analysis on 3D FSI dynamic response of offshore wind turbine foundation[D]. Yangling: Northwest A&F University, 2011. [百度学术]
田树刚, 陈清军. 考虑流固耦合的近海风电支撑体系自振特性分析[J]. 力学季刊, 2014, 35(3): 473-481. [百度学术]
TIAN Shugang, CHEN Qingjun. Analysis of dynamic characteristics of offshore wind power foundation with consideration of fluid-structure interaction[J]. Chinese Quarterly of Mechanics, 2014, 35(3): 473-481. [百度学术]
赵家奎.微分变换及其在电路中的应用[M]. 武汉: 华中理工大学出版社, 1988. [百度学术]
崔灿, 蒋晗, 李映辉. 变截面梁横向振动特性半解析法[J]. 振动与冲击, 2012, 31(14): 85-88. [百度学术]
CUI Can, JIANG Han, LI Yinghui. A semi-analytical method for vibration characteristic of variable cross-section beam[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(14): 85-88. [百度学术]
ARIKOGLU A, OZKOL I. Solution of boundary value problems for integro-differential equations by using differential transform method[J]. Applied Mathematics and Computation, 2005, 168(2): 1145-1158. [百度学术]
DAMGAARD M, IBSEN L B, ANDERSEN L V, et al. Cross-wind modal properties of offshore wind turbines identified by full scale testing[J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 2013, 116: 94-108. [百度学术]